【摘 要】
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众所周知,非线性模型的精确解一直都是可积系统的研究重点方向.而达布变换是一种强有力的求解方法.本文主要运用经典的达布变换和推广的达布变换,研究了若干非线性模型的精确解以及动力学行为.第一章为绪论.简要介绍了孤立子理论的起源和发展,并对达布变换和广义达布变换进行了简单的描述.第二章研究Gerdjikov-Ivanov（GI）方程.首先考虑了其调制不稳定性.然后,构造GI方程的2n重达布变换,并以行列
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众所周知,非线性模型的精确解一直都是可积系统的研究重点方向.而达布变换是一种强有力的求解方法.本文主要运用经典的达布变换和推广的达布变换,研究了若干非线性模型的精确解以及动力学行为.第一章为绪论.简要介绍了孤立子理论的起源和发展,并对达布变换和广义达布变换进行了简单的描述.第二章研究Gerdjikov-Ivanov（GI）方程.首先考虑了其调制不稳定性.然后,构造GI方程的2n重达布变换,并以行列式的形式表示了其高阶怪波解.最后,通过选择适当的参数,讨论了一阶、二阶、三阶怪波解的动力学性质.第三章致力于Lakshmanan-Porsezian-Daniel（LPD）方程.首先借助于与Lax对相关的Riccati方程,构造了LPD方程的达布变换.其次,我们考虑以两类椭圆函数dn、cn为背景的种子解.特别地,这两类种子解在长波扰动下具有调制不稳定性.通过调整谱参数和色散系数,获得了LPD方程的在两类椭圆函数dn、cn背景上的Kuznetsov-Ma（KM）呼吸子解以及Tajiri-Watanabe（TW）呼吸子解,具体分析了其动力学性质.第四章针对广义的modified Korteweg-de Vries（emKdV）方程.以两类椭圆函数dn、cn为基础,构造了 emKdV方程的周期行波解.随后,对emKdV方程的Lax对非线性化,由此得到了相应的周期特征函数.将周期行波和周期特征函数联系起来,我们明确地描述了周期谱问题中远离虚轴的特征值的位置.最后,借助于达布变换,得到了emKdV方程的以椭圆函数dn、cn为背景的一阶、二阶、三阶怪波解,即怪波周期解,讨论了其丰富的动力学行为.第五章考察高阶nonlinear Schr?dnger（NLS）方程.讨论NLS族的算子,由此给出整个NLS可积方程族.利用推广的达布变换,我们发现了一种由怪波与呼吸子组成的相互作用解.这种相互作用解中存在着能量转换行为.同时,调整谱参数和色散系数不仅会产生各种各样的怪波与呼吸子的相互作用解,也会影响着相互作用解的能量转换行为.第六章聚焦与3 × 3谱问题相联系的二分量复mKdV方程.我们首先构造了二分量复mKdV方程的达布变换.随后,在渐近展开理论的帮助下,获得了二分量复mKdV方程的一种新型怪波解:曲线怪波解以及高阶半有理解,如高阶亮、暗、曲线怪波与多亮、暗孤子以及多暗、亮呼吸子之间的混合解.基于图像分析了一阶、二阶半有理解的动力学行为,并给出高阶半有理解的特性.第七章探究与4 × 4谱问题相联系的非局域pair-transition-coupled NLS（pt-cNLS）方程.首先给出了非局域pt-cNLS方程的Lax对.随后,构造了其达布变换,获得了多种混合型解,如亮、暗、反暗双周期解、X型扭结解、类怪波解、扭结与双呼吸子（驼峰）的混合解.通过分析与计算,讨论了混合型解产生的限制条件.借助于渐近展开理论,通过调整自由参数,得到了多种新型有理孤子解,并分析了其动力学行为.
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