非线性泛函分析作为许多非线性问题研究的基本工具之一，被广泛地用于讨论非线性微分方程。 非线性常微分边值问题作为非线性微分方程问题的重要组成部分，具有重要的应用价值和理论意义。 　　常微分方程中的非局部问题是指方程的定解条件不仅仅只依赖于其解在区间端点上的取值情况，而且还依赖于该解在区间内部的一些点处的值。 同时两点边值问题和三点边值问题因为有着丰富的应用背景而成为研究重点。 　　分数阶微积分概念由来已久，但是一直没有引起人们的足够重视。 直到最近几十年它们在分形、热学系统、光学、材料、信息处理、机器人和控制、系统识别等诸多应用领域越来越多地被应用，使得分数阶成为研究的热点之一。 分数阶模型比整数阶模型更加准确，原因是分数阶模型具有更多的自由度。 全文共分如下五章。 　　第一章主要交代了论文的选题背景和问题的提出，以及创新之处。 　　第二章主要研究一类二阶常微分方程Sturm-Liouville问题正解的存在性并进行证明。 　　第三章证明了一类三点边值问题多解的存在性及其相关定理。 　　第四章讨论了一类分数阶微分方程解的存在性及其相关结果，并举出一个实例。 　　第五章研究一类空间—时间分数阶对流扩散方程的数值解，其中包括差分格式，稳定性，以及收敛性证明。