设V是除环K的全赋值环,G是一个有纯锥P的加群,σ:G→Aut（K）是一个群同态.假设G在K上的斜群环K[G,σ]有左商除环Q（K[G,σ]）.A=（?）u∈GAuXu是V在K[G,σ]上的一个分次扩张,P1是Q（n）的一个锥.本文对A的子环和超环进行了研究,证明了A的子环和超环构成的集合与相应群的某些锥的集合之间有一个一一对应关系.特别地,本文对Q（n）的锥和K[Q（n）,σ]上的分次扩张的子环和超环进行了刻画.本文主要分为三个部分:第一部分是引言,第二部分是文章的主体部分,第三部分是结束语第一章是引言,介绍文章的研究背景和研究意义第二章是基础知识,介绍一些基本的定义和引理第三章探究K[G,σ]上分次扩张的子环主要结论:引理3.1设A=（?）u∈GAuXu是V在K[G,σ]上的一个分次扩张,若u ∈ G且AuXu·A-uX-u=V,则存在αu∈K,使得Au=Vαu,A-u=Vσ（-u）（αu-1）=Vα-u.引理3.2设A=（?）u∈GAuXu是V在K[G,σ]上的一个分次扩张.令H={u|AuXu·A-uX-u=V},那么H是一个群,并且对任意的u∈H,v∈G都有AuXu·AvXv=Au+vXu+v,AvXv.AuXu=Au+vXu+v.引理3.3设A=（?）u∈GAuXu是V在K[G,σ]上的一个分次扩张,令H={u|AuXu·A-uX-u=V},B∈SV（A）,HB={u∈H|Au=Bu},那么HB是H的一个锥.引理3.4对任意H0∈H,令#12那么B∈SV（A）.引理3.5令A=（?）u∈GAuXu,B=（?）u∈GBuXu,A和B都是V在K[G,σ]上的分次扩张,并且B（?）A.如果对某个u ∈ G,有Bu（?）Au,那么BuXu·B-uX-u=V.设CH是H的锥的集合,它可以用来刻画SV（A）.我们有下述重要定理.定理3.1设A=（?）u∈GAuXu是V在K[G,σ]上的分次扩张.令H={u|AuXu·A-uX-u=V},则CH与SV（A）之间有一个一一对应关系.第四章探究K[G,σ]上分次扩张的超环.主要结论:分次扩张A的超环是否有上界呢?引理4.1说明所有QV（A）中的元的并还在QV（A）中.引理4.1设A=（?）u∈GAuXu是V在K[G,σ]上的分次扩张,令#12则C是V在K[G,σ]上的分次扩张.设A=（?）u∈GAuXu是V在K[G,σ]上的分次扩张.令H={u ∈ G|AuXu·A-uX-u=V},H={u|CuXu·C-uX-u=V},L={u|u∈H\H,Au=Cu,A-u≠C-u},包含L和H的H的锥的集合记为CH+.定理4.1设A=（?）u∈GAuXu是V在K[G,σ]上的分次扩张,H,L,CH+如上所述,则CH+与QV（A）有一个一一对应关系.第五章探究Q（n）的锥和K[Q（n）,σ]上分次扩张的子环与超环.主要结论:引理5.1 Q的锥有且只有三个,即P1={x|x∈Q,x≥0},P2={x|x ∈ Q,x<0}和Q本身.引理5.2设P是Q（n）的一个锥,对任意的u ∈Q（n）,u ∈p当且仅当存在正有理数k,使得ku ∈ P.定理5.1设P是Q（n）的子集,若P是Q（n）的真锥,则存在不全为0的实数a1,a2,,an,使得（1）对任意的u=（u1,u2,,un）∈ Q（n）,若a1u1+a2u2++anun>0,则u ∈ P.（2）对任意的u=（u1,u2,,un）∈ Q（n）,若a1u1+a2u2++anun<0,则u（?）P.（3）令S={（u1,u2,,un）|a1u1+a2u2++anun=0},则P∩S是S的一个锥.定理5.2设a1,a2,,an是不全为0的实数,P是Q（n）的子集,S={（u1,u2,,un）|a1u1+a2u2++anun=0,ui∈Q,i=1,2,,n}.若对任意u=（u1,u2,,un）∈Q（n）,当a1u1+a2u2++anun>0 时,有u∈P,当a1u1+a2u2++anun<0时,有u（?）P,且P∩S是S的一个锥,那么P是Q（n）的一个真锥.