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众所周知，有界线性算子半群谱理论的研究在半群理论中有着重要的位置。对强连续半群即C<,0>-半群的谱理论(11，20,27.29,31,34)已作了系统完善的研究。然而无论在理论还是在应用方面都存在着众多的非C<,0>一半群.(33.38)引入了弱Y-可积半群，而局部可积半群则为退化型的发展方程提供了一个基本解。本文我们首先讨论这两类算子半群的谱映射定理。
象强连续半群与Cauchy问题的关系一样。光滑分布半群与分布意义下的Cauohy问题也有着密切的关系。自从60年代Lions引入光滑分布半群的概念以来。各种各样的光滑分布半群。光滑分布群被研究，(见[3,4,6,9,30,37)).本文我们讨论两种更一般的光滑分布半群的刻划.从而推广(3,4,6.37)的有关结果。
本文共分四章。在第一章我们讨论弱Y-可积半群的谱映射定理，主要结果为：
定理1.2.3.设弱Y-可积半群{T(t)：t>0)满足在X中稠A为{T(t); t>0)的生成元.则下列条件等价：为从X<,1>到X的有界线性算子。
为由X<,1>到X的有界线性算子。在第二章我们讨论局部可积算子半群的谱映射定理。这类半群与一些退化的线性发展方程有着密切关系。由于此类半群可能不存在单值的生成元算子.在第一节我们介绍多值线性算子的基本性质，并讨论一拟预解算子是某多值线性算子的预解算子的充分条件。在第二节我们定义局部可积半群的生成元.该生成元一般为一多值的闭线性箅子，并证明它具有与C<,0>一半群的生成元完全类似的性质。第三节我们讨论局部可积半群{T(t))<,t>0>的谱与其生成元A的谱之间的关系,从而推广了C<,0>一半群的谱映射定理。第四节讨论此类半群的一些特殊情形并给出了例子。
在第三章我们讨论正则光滑分布群。为了研究抽象Cauchy问题在分布意义下的适定性，光滑分布群作为强连续半群的自然推广被引入，(见(4，9.25，30])。在[6]中作者证明了算子A生成-n阶光滑分布群等价于A生成一多项式有界的n次积分群。等价于(iA)为-n阶谱分布的矩量.deLaubenfels，Jazar引入了C-正则谱分布的概念，并证明了算子A生成某类C-正则谱分布等价于A的扩张生成一多项式有界的C-正则群，等价于(iA)有--C--正则算子演算(见[15])。本章我们定义了C-正则光滑分布群，并证明算子A生成-n阶C-正则滑分布群等价于A的一个扩张生成一多项式有界的C-正则群。等价于(iA)为某-C-正则谱分布的矩量(见定理3.2.4)。从而我们用C-正则群来刻划C-正则光滑分布群，推广了[6]的主要结果。
在第四章我们讨论光滑分布半群与积分半群的退化情形。在Lions关于光滑分布半群的定义下.在[3]中,Arendt,W.等人证明了,对X上闭的稠定义算子A，A生成一光滑分布半群的充要条件是存在k∈N，τ>0。使下列Cauchy问题适定．而C<,K+1>(τ)适定的充要条件是A生成-K次积分半群．另一方面，对闭的多值的线性算子A．Cauohy问题在退化的线性发展方程研究中起着重要的作用。(见[19．43])。所以一个自然的问题是C<1><,k+1>(τ)的适定性是否也能用某类光滑分布半群及某类积分半群来刻划．为了回答这一问题，在本章我们从讨论C<1><,k+1>(τ)的适定性并始。证明了C<1><,k+1>(τ)适定的充要条件是A生成一退化的k次积分半群。(见定理4．2．8)．接着我们把Lions关于光滑分布半群定义中的五个条件减弱为两个，定义了由多值闭线性算子A生成的(退化)光滑分布半群，并证明了闭的多值算子A生成-(退化)光滑分布半群的充要条件是C<1><,k+1>(τ)适定。(见定理4．3．4)。这里我们没有假设A有稠的定义域．最后我们给出了这种情形时的Stone，s定理，定理4．4．6．这些结果都大大推广了[3，37]的主要结果。