近年来, 基于偏微分方程的图像处理成为图像处理领域中的一个重要分支, 相关内容日益成为图像研究人员包括数学界的研究热点. Marr 和Hildreth [1] 提出了低通滤波的概念, Witkin 注意到, 把高斯核卷积到信号上相当于解一个以该信号为初值的热传导方程: Malik 和 Perona 提出了一个重要改进, 他们采用下列非线性方程取代上述热传导方程: 然而, Malik 和 Perona 模型是有重大缺陷的, 它的适定性无法证明. 为了克服这个模型所遇到的困难, Catte, Lions, Morel and Coll 引进了一个如下的选择性光滑化模型: 但是, 该模型也有很大的不足: 模型中的卷积 很难定义, 而且其求解区域也有一定限制. 我注意到, 杨烜和梁德群 基于小波分析所构造的区域一致性测度能够很好体现图像处理中“边界”的本质特点. 本文引进的区域一致性测度 ,对他们的定义做了一定的改进, 并沿用相同的名称. 通过把区域一致性测度与偏微分方程结合起来, 我们摒弃了图像处理中梯度算子和传统PDE模型的一些缺陷, 建立了一个既能根据图像的不同区域性质而自动调整检测尺度、又能有效降低噪声对检测判断影响的新的边界检测模型: 其中 是下述线性抛物方程初值问题的唯一解: 理论上, 该PDE模型适定可靠, 在图像处理实例中也得到了比较理想的效果. 另外, 本文的附录收录了我在研究生阶段的另一个研究方向. 这是从偏微分方程理论的角度推导了期权定价的Black-Scholes偏微分方程并论述了它的适定性, 同时介绍了权证产品的特点及它与期权产品之间的联系和区别, 以此为基础将Black-Scholes偏微分方程的基本假设进行了修改, 提出了一个改进的更符合权证产品的定价模型.