逼近论的一个核心而经典的课题是正线性算子的研究.自从1912年S.Bernstein提出Bernstein算子以来,多项式算子逼近连续函数的问题经历了百年的发展,理论体系已经相当完善.经典Bernstein算子不仅在逼近论和计算学科中有重要应用,近20年来,它在计算机辅助几何设计中扮演着极其重要的角色.尤其是Bernstein基函数在曲线曲面造型中的广泛应用,再次激发了人们对该算子的研究兴趣.但是传统研究Bernstein算子主要是用它来逼近有限闭区间上的连续函数,一般无穷区间上的连续函数都是考虑用Szász-Mirikan算子来逼近的.但是Szász-Mirikan算子最大的局限在于它是一个无穷级数函数,一般在应用上非常不方便,通常在应用上都是考虑用它的有限部分和来替代.而实际上,我们发现在一定的参数变换下,经典Bernstein算子也可以用来逼近无穷区间上的连续函数.这里我们特别要提到的是Bernstein型算子的算子半群结构表示问题.本文通过建立各类Bernstein型算子的半群结构表示,通过另一个角度揭示了Bernstein型算子的许多本质特征.经典Bernstein算子的推广问题,也是一个非常热门的研究课题.目前比较经典的推广莫过于q-Bernstein算子和Chebyshev-Bernstein算子,这两类算子及其基函数在CAGD中也有着极其广泛的应用.而其中有一类重要的推广被长期忽略,近几年忽隐忽现在学术文献中,那就是Lototsky-Bernstein算子.该算子最早由King在1965年的一篇短文中提出,1970年代,Eisenberg和Wood将这类算子推广到解析函数的研究中.除此以外,Lototsky-Bernstein算子并未被足够重视,而在学术文献中销声匿迹.从1980年代末开始,多项式“开花”（Blossoming）引起了人们的兴趣,“开花”在CAGD中得到了广泛的研究,它不仅在多项式研究中有应用,在样条函数研究中也有许多优势.而经典n阶Bernstein算子本质上就是n次多项式算子,通过对这类算子的开花,并对开花后的n个新的变元分别用n个独立的递增函数pi（x）来代替,我们就得到Lototsky-Bernstein算子了.这类Lototsky-Bernstein算子之所以被忽略的一个很重要的原因是它并没有像经典Bernstein算子那样有着非常完美的性质,包括保线性性,保单调,保凸,基函数是全正的等等.我们需要对这n个pi（x）有一定的限制以便满足相应的性质,而这n个函数pi（x）是完全独立的,因此这个工作量是相当大的,并且文献中也并没有可参阅的蓝本,因此我们需要独创方法来系统研究Lototsky-Bernstein算子的逼近性质和几何性质.本文共分四章.第一章主要介绍相关背景知识和研究进展.第二章主要介绍Bernstein型算子的半群结构表示及其应用（本章的工作主要对应于作者博士阶段的研究成果[1,2,4]）.第三章主要介绍一般意义下的Lototsky-Bernstein算子的各类保形性质（本章的工作主要对应于作者博士阶段的研究成果[3]）.第四章主要介绍不动点函数恒等情况下的Lototsky-Bernstein算子的相关性质（本章的工作主要对应于作者博士阶段的研究成果[3,8]）.第二章至第四章主要得到了下面的结果:（一）在第二章中,我们主要对各类Bernstein型算子逼近Szász算子进行研究.我们主要通过建立Bernstein型算子的半群结构表示,并应用半群理论的相识知识解决算子逼近问题.同时我们也建立了 Bernstein-Durrmeyer算子的半群结构表示,并应用这种结构表示来解决Bernstein-Durrmeyer算子逼近Szász-Durrmeyer算子的相关问题.通过这样的半群表示方法,我们大大改进了这类逼近问题中的许多经典结果,尤其是估计上界的改进问题.在本章的最后部分,我们引入了 Shorgin恒等公式,应用这个恒等公式,我们发现了经典Bernstein算子的许多未被揭示的性质,例如,我们可以用Bernstein算子来逼近无界区间上的无界函数,并且得到了相应的阶估计.通过Shorgin恒等式来解决逼近问题的方法在逼近论的发展历史中尚属首次.我们在第三章中,通过应用这个Shorgin恒等式,还给出了 Lototsky-Bernstein算子的渐进逼近性质.本文通过引入正线性算子的算子半群表示公式来研究正线性算子的性质的方法,开辟了认识正线性算子尤其是Bernstein型算子的新途径.（二）在第三章中,我们系统研究了Lototsky-Bernstein算子的各种保形性质,包括不动点理论,不动点函数的逼近性质,迭代收敛性,有界变差递减性质,Lototsky-Bernstein基函数的全正性和变差递减性,形状保持（单调性保持,凸保持）,Lototsky-Bernstein算子及其不动点函数关于函数pi（x）的依赖性以及Lototsky-Bernstein算子的渐进收敛性.这里要特别提到的是Lototsky-Bernstein 基函数的全正性,因为基函数的全正性在 CAGD 中有着极为广泛的应用,规范的和全正的基函数是一类非常适合曲线曲面造型的基函数.我们也将在后续的相关研究中系统介绍这类基函数不同于传统基函数在曲线曲面造型中的灵活性,它在造型上的效果与B-样条在造型上的效果是相当的,但是结构更加简单,操作更加简便,计算量更加小.（三）在第四章中,我们将着重讨论不动点函数恒等情况下的Lototsky-Bernstein算子.传统正线性算子都是保持线性的,也就是说不动点函数不会随着算子阶n的变化而变化.而Lototsky-Bernstein算子的不动点函数γnp（x）是随着n的不同而不同,它们严格依赖于pi（x）,i≥1.甚至当所有的pi（x）都相等的情况下,相应的不动点函数γnp（x）也是互不相同的.这就给我们研究Lototsky-Bernstein算子提出了挑战,那么当pi（x）满足怎样的条件下,才能保证对应的不动点函数γnp（x）是固定不动的,不随着n的变化而变化呢,本章主要解决这个问题.我们研究了不动点函数恒等情况下的Lototsky-Bernstein算子的相应性质,并且系统讨论了此时相应的pi（x）,i≥1的相互依赖性,pn（x）的收敛性,单调性.我们发现当p1（x）满足一定的限制条件下,对所有的（1,P1）-凸函数,也有Ln（f;x）≥ Ln+1（f;x）.