本文分别对一类非线性方程多解的存在性问题和一类四阶椭圆方程的正解问题进行了研究.　　第一章研究下面一类非线性方程{-△pu=f(x，u)， x∈Ω，|▽u|p-2(e)u/(e)η=h（x)|u|q-2u,x∈(e)Ω(0.0.1)多解存在性问题.其中Ω是RN中具有光滑边界的有界区域，N≥p+1，1≤q＜p并且h属于恰当的勒贝格空间.本章难点主要是借助在Neumann边界条件下的特征值来研究在f是渐近线性方程以及h的模充分小的条件成立下，此方程存在两个非零解.　　第二章研究了下面一类四阶椭圆方程△2u=λf(z)| u|q-1 u+ g(z)| u|p-1u， x∈Ω,u=△u=0， x∈(e)Ω(0.0.2)的正解存在性问题.其中0＜q＜1＜p=N+4/N-4，Ω是RN(N＞4)中具有光滑边界的有界区域.本章讨论了当f(x)及g(x)满足适当条件时，此方程的正解的存在性.本章难点在于利用Nehari流形上的(ps）序列证明了当参数Λ＞λ＞0时，此问题至少存在一个正的基态解，且λ充分小时，此问题至少有两个正解.