非线性问题一直是数学物理中一个热门的研究课题,近几十年来,随着科研的不断深入,非线性科学取得了巨大进展.研究发现自然界中的许多现象可以通过建立非线性发展方程的解的数学模型来描述.众多学者也已经探索出多种有效的求非线性方程精确解的方法,但是目前还没有一种方法可以适用于所有的非线性问题,仍有许多非线性发展方程的解有待探索.本文主要使用Hirota双线性方法,推广的(G’/G)-展开法,李对称分析法等研究几类整数阶和分数阶的非线性偏微分方程.第一章,介绍了本文的研究背景,现状和意义.第二章,在KP方程双线性系统的基础上,得到了(3+1)维Jimbo-Miwa方程的新的多孤子解.同时,得到了许多由线性孤子和lump波组成的半有理解.通过绘制三维图形研究了线性孤子和lump波聚集成线性孤子的融合过程和线性孤子分裂成线性孤子和lump波的过程.这些结果以前从未研究过,丰富了Jimbo-Miwa方程的动力学模型,可以解释和预测工程,航天,气象等领域相应的动力学现象.第三章,首先研究了广义时间分数阶泡沫排水方程的精确解.这里采用李群标度变换法和改进的(G’/G)-展开法.该方程描述了泡沫在重力作用下垂直密度分布的演变过程.广义时间分数阶泡沫排水方程的新的精确解和Maple图可以帮助我们更好地理解物理现象.其次利用Ansatz方法求出了共形时空分数阶修正等宽波方程的明,暗解.此外,首次用分数阶(G’/G)-展开法求出了时空分数阶修正等宽波方程的周期解,暗解,孤子解和类孤子解.并给出解的动态模型,结果表明,这两种方法对于求解其他类型的非线性分数阶微分方程是适用的,而且更有效.第四章,研究了耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统,该系统用来研究电力系统中流体的流动,描述浅水波的传播.首先考虑了李点对称性,相似性变换.利用所得到的对称性,将耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统用Erdelyi-Kober分数阶微分算子化为非线性分数阶常微分方程.其次利用幂级数展开法求解了简化的分数阶常微分系统,同时分析了幂级数解的收敛性.另外,利用新的守恒定理,构造了耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统的守恒定律.特别给出了q-同伦分析方法对耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统的数值模拟.第五章,对本文的研究成果进行了总结,同时结合现有的研究成果及自身掌握的理论基础,探讨了未来可以尝试的研究方向,给出今后的工作展望.