近年来,分数阶Laplace算子以及分数阶扩散方程在不同领域得到了广泛的应用,如稀疏障碍问题,金融数学,层状材料,反常扩散,种群动力学与博弈论等.分数阶Laplace算子是拟微分算子,具有非局部特性,从而为描述具有记忆和遗传性质的材料提供了极有价值的方法.基于分数阶Laplace算子以及分数阶扩散方程的广泛应用背景,本文主要研究了两类分数阶扩散方程解的消失性、爆破性,以及对应静态方程基态解的存在性等,具体研究内容如下:第三章研究了一类分数阶p-Kirchhoff方程解的消失性和非消失性.首先,为了对方程的解进行衰减估计,拓展了经典Gagliardo-Nirenberg不等式.然后借助分数阶Gagliardo-Nirenberg不等式,分数阶p-Laplace算子第一特征值以及微分不等式技巧,给出了该方程的解在有限时间内消失的充分条件,并且得到了解的衰减估计.最后,在初始能量泛函以及Kirchhoff函数M满足适当的假设下,得到了该方程的解不会消失的充分条件.第四章探讨了一类带有对数非线性项且退化的Kirchhoff扩散方程解的全局存在性、消失性以及爆破性.一方面,通过对fibering映射进行分析,在Nehari流形上讨论了静态Kirchhoff方程基态解的存在性.另一方面,在一些适当地假设下,利用位势阱理论,给出了解在无穷远处消失以及解在有限时间内爆破的充分条件.