Diophantine方程和Smarandache函数的均值问题是数论中两个极为重要的课题,它们的研究成果极大的丰富了数论内容,但仍有一些尚未解决的问题引起了不少学者的关注及研究.本文利用初等方法、解析方法、代数数论的方法研究了两类Diophantine方程求解问题,以及包含Smarandache函数的均值问题,主要成果如下:1.利用代数数论的方法讨论了Diophantine方程Ax~2+B=Cy~n的整数解问题,分别证明了Diophantine方程x~2+1024=y~1 ~1仅有整数解(x,y)=(±32,2);Diophantine方程x~2+256=4y~n当n=7时仅有整数解(x,y)=(±16,2),当n=11,13,15时无整数解。2.利用初等方法讨论了Diophantine方程?(mn)=a?(m)+b?(n)+c的正整数解问题,分别证明了当(a,b)=(3,4),(5,6),c=16时,Diophantine方程分别有27和20组解;当a~2+b~2=c~2,gcd(a,b,c)=1时,Diophantine方程无解;当c为完全数且c=ab时Diophantine方程解的情况。3.利用初等方法和解析方法探讨了Smarandache LCM函数SL(n)与Smarandache函数S(n)以及除数函数δ_α(n)的混合函数δ_α(n)(SL(n)-S(n))~2的均值问题,并得到了一个较强的渐近公式。