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1952年，Piatetski-Shapiro研究了对于充分大的正实数N，丢番图不等式|pc1+pc2+…+pcr-N|＜ε(0.1)关于素变数p1，…，pr的可解性问题，其中c不是整数且c＞1，ε是一个充分小的正数.设H(c)表示使得对于充分大的N，不等式(0.1)有素数解的最小自然数r.Piatetski-Shapiro证明了lim sup c→∞ H(c)/clog c≤4.在中，他还证明了当1＜c＜3/2时，有H(c)≤5.后来，Zhai和Cao，Garaev，Zhai和Cao，Shi和Liu等相继考虑了这个问题，并且做出了一系列的改进.目前最好的结果是由Baker和Weingartner给出的，他们证明了当1＜c＜2.041且c≠2时，有H(c)≤5.另一方面，根据Vinogradov-Goldbach定理，人们猜测当c接近1时，应该有H(c)≤3成立.D.I.Tolev最先考虑了这个问题，他证明了当1＜c＜15/14时，对于充分大的正实数N，不等式|pc1+pc2+pc3-N|＜ε(0.2)关于素变数p1，p2，p3可解，其中ε=N-(1/c)(15/14-c) log9 N.之后，许多数学家都对这一问题做过进一步研究.目前最好的结果是由Baker和Weingartner得到的，他们证明了对于更大范围的c，1＜c＜10/9，有H(c)≤3. 关于丢番图不等式(0.1)的可解性，对固定的r，期望得到更大范围的c，但这并不是总能实现的.所以有时候为了得到更大范围的c，考虑例外集问题.事实上，许多数学家已经考虑了这类问题.设(B)r表示(N，2N]中使得(0.1)不可解的实数R的全体.1999年，Laporta研究了r=2时(0.1)的例外集问题.设N是一个充分大的实数.Laporta证明了对于c满足1＜c＜15/14，不等式|pc1+pc2-R|＜ε(0.3)对于所有的R∈（N，2N](B)2可解，其中|B2|(＜＜)N exp（-1/3（log N/c）1/5），ε=N1-15/(14c) log8 N.2003年，Zhai和Cao改进了Laporta的结果，证明了当1＜c＜43/36时，不等式(0.3)对于所有的R∈(N，2N]B2可解，其中B2如上给出，ε=N1-43/(36c). 本文研究了r=3时不等式(0.1)的例外集问题，得到了下面的结果. 定理0.1设1＜c＜33/16且c≠2.则存在N0(c)使得当N＞N0(c)时，对于所有的R∈（N，2N]B3，丢番图不等式|pc1+pc2+pc3-R|＜log-1 N关于素变量p1，p2，p3可解，其中|(B)3|(＜＜)N exp(-2/15（log N/c）1/5）. 注意到33/16=2.0625，这一结果可以和前面Baker和Weingartner中的10/9=1.11…进行比较，这里c的范围扩大了. 本文还研究了r=6时不等式(0.1)的可解性问题，结果如下. 定理0.2设1＜c＜33/16且c≠2.则存在N0(c)＞0使得当N＞N0(c)时，丢番图不等式|pc1+pc2+pc3+pc4+pc5+pc6-N|＜log-1 N关于素变量p1，p2，p3，p4，p5，p6可解. 这一结果可以与Baker和Weingartner给出的1＜c＜2.041且c≠2进行比较，在增加一个素变量的前提下扩大了c的范围.