【摘 要】
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在物理学和数学中,热传导方程是用来描述在固体介质中某些量(如热)的分布如何随时间演变的偏微分方程.在许多实际问题中,问题的解决常常归结为求解非线性偏微分方程.本文研究
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在物理学和数学中,热传导方程是用来描述在固体介质中某些量(如热)的分布如何随时间演变的偏微分方程.在许多实际问题中,问题的解决常常归结为求解非线性偏微分方程.本文研究的Allen-Cahn方程主要用来描述结晶固体的反相边界运动,Cahn-Hilliard方程主要用来描述结晶固体里的复杂相分离以及粗化现象,这两类方程都在材料科学和流体力学中具有广泛地应用.Fisher方程是一类重要的非线性热传导方程,在热传导、燃烧理论、生物学、生态学等领域有着重要的应用.气动力学方程是基于质量守恒、动量守恒、能量守恒等物理定律的数学表达式,在许多行业领域扮演着重要的角色.传统的数值方法在求解上述三类方程具有一定的优势,但精度有待提高,因此寻找一种高精度的数值方法显得尤为有必要.鉴于重心Lagrange插值配点法不需要划分网格、程序简单且运算速度快等优点,本文采用此方法求解了三种带有初边值条件的热传导方程,并作了收敛性分析.在空间域和时间域的变量均采用切比雪夫节点离散,方程的未知函数及其偏导数采用插值函数和微分矩阵进行离散,初边值条件采用置换法进行施加,然后进行求解.具体算例如下:(1)求解了Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程并绘制出了数值解图像以及能量曲线,同时验证了方程的总自由能随时间的增加而衰减的性质.(2)求解了Fisher方程并绘制出了数值解图像和误差图像,且用此方法求出的误差和其它文献计算的误差进行了比较,同时也对比了在不同插值节点下,三种误差值的变化,使重心Lagrange插值配点法的有效性和实用性得到了验证.(3)求解了气动力学方程并绘制出了相应的数值解图像、解析解图像以及误差的图像,同时比较了不同插值节点下三种误差值的变化.数值解和解析解图像的高度吻合性与三种误差值的显著变化均能表明重心Lagrange插值配点法的实用性和有效性.
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