【摘 要】
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令G是一个有限简单图,分别用△（G）和mad（G）表示图G的最大度和最大平均度.设c是G的一个正常k-边染色.若c满足对于任意边uv∈E（G）都有（?）,则称c是图G的邻和可区别k-边染色（简称为nsd-k-边染色）.称使图G有一个nsd-k-边染色的最小正整数k为图G的邻和可区别边色数,记为χ’∑（G）.我们把不含孤立边的图称为正常图.显然,图G存在邻和可区别边染色当且仅当G是正常图.邻和可区别
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令G是一个有限简单图,分别用△（G）和mad（G）表示图G的最大度和最大平均度.设c是G的一个正常k-边染色.若c满足对于任意边uv∈E（G）都有（?）,则称c是图G的邻和可区别k-边染色（简称为nsd-k-边染色）.称使图G有一个nsd-k-边染色的最小正整数k为图G的邻和可区别边色数,记为χ’∑（G）.我们把不含孤立边的图称为正常图.显然,图G存在邻和可区别边染色当且仅当G是正常图.邻和可区别边染色是由Flandrin等人在2011年提出的.同时,他们提出以下猜想:如果G是阶至少为3的连通图且G≠C5,则χ’∑（G）≤ △（G）+2.在同一篇论文中,他们证明了对于△（G）≥ 2的连通正常图G,有χ’∑（G）≤「7△（G）-4/2（?）.Przybylo在2019年用概率的方法将这个界优化到了△（G）+95（?）.Bonamy和Przybylo在2017年证明了若图G是△（G）≥ 28的正常平面图,则χ\∑（G）≤ △（G）+1.Wang等人在2018年证明了若图G是mad（G）＜37/12的正常图,则χ’∑（G）≤max{9,△（G）+2}.随后,Wang等人在2020年证明了若图G是mad（G）＜10/3的正常图,则χ’∑（G）≤ max{10,△（G）+2}.在前人研究的基础上,本学位论文主要运用组合零点定理和权转移的方法来研究稀疏图和平面图的邻和可区别边色数.全文共分四章.在第一章中,介绍了本文需要的一些基本概念和相关领域的研究现状,并给出了本文的主要结果.在第二章和第三章中,我们研究了两类稀疏图的邻和可区别边染色,并刻画了mad（G）＜10/3的图的邻和可区别边色数,得到了以下成果:（1）设图G是mad（G）＜37/12的正常图,则χ’∑（G）≤max{8,△（G）+1}.（2）设图G是mad（G）＜10/3的正常图,则（2.1）χ’∑（G）≤max{9,△（G）+1}.（2.2）如果△（G）≥ 12,则χ’∑（G）=△（G）+1当且仅当G中包含两个相邻的△（G）-点.在第四章中,我们考虑不含短圈限制的平面图的邻和可区别边染色.我们采用反证法,通过构造极小反例,探究其结构性质最后运用权转移的方法得出矛盾,得到如下结果:（3）若图G是不含4-圈的正常平面图,则χ’∑（G）≤max{13,△（G）+2}.
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