该文研究了环R× M的k-Gorenstein性质,讨论了它的同调维数.维数的研究是同调理论中的核心部分,伴随同调理论的形成,它便一直成为同调代数中研究的焦点.对于给定的结合环,人们往往通过对其上的一些模的某一种同调维数取上确界而得到环的相应的整体维数,进而从外部刻画出环的特征.给定一个环或模,人们通过环和模的多种不同分解式,可以定义不同的同调维数.在第二章中我们将通过另一种方法,也就是考察所有的短正合列以及短正合列之间的态射,我们得到一个新的范畴,通过对这个范畴(我们称之为短正合列范畴C<,R>M)的一些基本性质的考察,我们定义出与环R相关的同调维数,我们称它为正合投射维数.在这一章的最后,我们研究了环R的整体维数与正合投射维数的关系,得到了这两类维数是相等的,从而给出了整体维数得一类特征刻画.在第三章我们讨论R|×M的同调维数,由文献[5]我们知道R|×M的整体维数和所谓的Morita系统环有着密切的联系,而Morita系统环的整体维数只在一些特殊的情况下被讨论.一般情况因为过于复杂,而成为一个公开的问题.文献[5]以及其他的一些文献把Morita系统环看作是R|×M的平凡扩张,对R|×M的内射整体维数做了一些工作,但这种平凡扩张的方法在对R|×M的整体维数方面一直没有大的进展.在该章中通过构造一四项正合列,再利用维数转移公式,给出了R|×M整体维数的一个估计.