本文主要包括两部分内容：一部分是关于概周期型函数的应用，另一部分是关于极限幂型函数。　　具有逐段常变量的微分方程是由K.Cooke，S.Shah和J.Wiener等人首先提出并研究的.这些方程在单位长的区间内具有连续系统的性质，解在任二区间端点的连续性又将诱导解在这些点的值的回复关系，进而它们结合了微分方程和差分方程的性质.一些数学工作者已经讨论了一些具有逐段常变量微分方程的概周期解。本文利用此类方程对应的差分方程的概周期型序列解讨论了二阶中立型时滞逐段常变量微分方程的渐近概周期解的存在性.利用指数型二分性和差分方程的概周期序列解得到非线性中立型微分方程的渐近概周期解存在的条件.　　反射微分方程在微分-差分方程的稳定性的研究中具有重要作用.1978年Sarkovskii研究了自控微分方程解的性质.1988年Afidabizadeh et al得出自控微分方程有唯一的有界解，并在有唯一的有界解得前提下，证明了自控微分方程有唯一的概周期解。已有数学工作者讨论了反射微分方程概周期解的存在性,本文得到了反射微分方程伪概周期解存在的条件.　　在傅里叶分析与小波分析中,基本的空间是L2(R).但是L2(R)中的元只是瞬时信号.而在某些应用领域人们更希望通过持久信号发展一些理论.许多有用的持久信号都在H2中,但J.Mari于1996年给出反例显示出H2在加法运算下是不封闭的.这种对加法运算不封闭的缺点在稳健控制中会导致很多困难. J.Mari还指出除了H2中的某些子集是向量空间外,还不知道是否可以定义一个更好、更大的向量空间.本文就定义了两个这样的空间，即一致极限幂函数空间和p次平均极限幂函数空间.具体工作如下：　　首先，找到了一组标准正交基，以此构成α-三角多项式.　　其次，利用上述的标准正交基，类似于概周期函数定义了一致极限幂函数，和概周期函数一样，一致极限幂函数也有傅里叶展开且满足Parseval等式，并且不同的一致极限幂函数对应着不同的傅里叶序列.　　第三，利用广义三角多项式定义ULP(R+),为了证明傅里叶展开的唯一性引入强极限幂函数空间SLP(R+)，证明了它是C*-代数并且它的Gelfand空间具有可分离的Abelian紧群结构.得出了f∈SLP(R+)的傅里叶展开是唯一的.进一步，ULP(R+)中函数的傅里叶展开也是唯一的.　　第四，平行于概周期型函数，定义了渐近极限幂函数，弱极限幂函数和伪极限幂函数。　　最后，平行于B2空间理论，发展了p次平均极限幂函数空间Bαp理论.得到一个在H2中最大的Hilbert空间LP2，并且此空间中的元素有傅里叶展开且满足Parseval等式.　　上述这些结果，有的是对已有结果的改进和推广，有的是全新的.