本文的主要工作是给出N体系统统计力学的正则系综的精确处理。多体问题是理论物理的重要内容。力学方法是处理多体问题的基本方法。然而,多体问题的力学处理极其困难。因此,人们可以转而采取统计力学处理。正则系综考虑的是具有确定粒子数的系统的统计力学。在正则系综处理时,粒子数固定的约束将给我们带来非常大的困难。为此,统计力学处理粒子数固定的问题时,人们采取近似——巨正则系综方法。在巨正则系综中,对精确的粒子数的约束被对平均粒子数的约束取代。尽管,巨正则方法在热力学极限下,即粒子数N趋于无穷时是非常好的近似,但是在处理少体系统时会带来误差。随着技术手段的革新,使得对少体系统,如,限制在有限空间内的系统的研究成为可能,因此,有必要在理论上给出更为精确的多体问题统计力学的正则系综处理。本文基于各种方法尝试了对N体系统以及相关问题的处理。本文基于对称函数、拆分数、Bell多项式、置换群与幺正群以及随机过程等数学理论,借助经典与量子集团展开等物理方法,给出了以下结果:（1）给出了理想量子气的正则配分函数,包括玻色统计、费米统计以及Gentile统计;用Bell多项式表示了基于集团展开方法得到的经典相互作用气和量子相互作用气的正则配分函数。（2）利用理想量子气的正则配分函数,给出了一类与理想量子统计相对应的限制拆分数的母函数;引入了一种与广义统计对应的限制拆分数,将一大类拆分数的研究纳入一个统一的框架中。（3）发展了N体系统本征值谱的统计力学处理方法;利用系统的正则配分函数具体给出了N体系统的谱。由所得到的谱中分析来自量子交换作用、空间拓扑效应以及几何效应的影响。（4）从群表示的角度讨论了量子交换作用;给出了具有置换群对称性的,N体无相互作用全同粒子系统的正则配分函数的普遍形式;指出了Gentile统计系统不具有置换群对称性。（5）基于幺正群的卡西米尔算子与置换群的类算子构造了一个精确可解的统计模型,考虑所有两两自旋相互作用的海森堡模型是这个模型的特例。（6）作为布朗运动的推广,给出了处在理想量子气背景中粒子的随机运动描述。量子背景带来的影响被体现在了粒子的随机运动中。（7）此外,在声学散射问题上,本文给出了一个不采取无穷远渐进近似的严格声学散射理论。在这个方法中,观测者和散射体之间的距离信息将被保留,而这部分信息在传统散射理论中由于近似而丢失。