基于Stratonovich形式的随机微分方程的数值解法及应用

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人们一直用常微分方程来描述、解释自然界的很多现象,数学微分方程模型的使用使得很多工程问题转化为数学求解问题。后来,人们考虑在信号控制系统、金融证券系统、生物种群系统里随机因素不可忽略,甚至没有随机项的存在,就几乎不能准确的描述这些现象,逐渐重视随机微分方程的解的问题。然而,在实际应用里,解析解并非是必要的,而随着计算机技术的快速发展,数值方法的结果可以不通过理论证明就可以直观予以验证,大大便利了微分方程模型的求解。本文研究的Stratonovich形式随机微分方程是It随机微分方程的一个变式,它的积分形式与传统积分保持某种意义上的相似,而It积分形式与传统积分形式则有很大不同。这引起很多人的兴趣,人们迫切的想了解Stratonovich型随机微分方程的性质与数值解的相关问题。本文的主要研究结果如下:第一,本文利用It随机微分方程的数值解法,推导出相对应的Stratonovich型随机微分方程的Euler-Maruyama方法、Back-Euler方法、梯形法、Misltein方法.并证明了主要数值解法收敛性,给出了稳定区域.第二,本文通过直接的泰勒展开来构造数值解,为了避免繁琐复杂的高阶导数与积分,运用彩色树理论构造出强1阶四级显式Runge-kutta方法,这是一种新的方法,具有很高的精度.第三,而在证券市场中,许多利率模型、债券价格模型、衍生证券模型都符合随机微分方程,我们用Stratonovich型随机微分方程去模拟这些实际问题,然后利用Stratonovich型随机微分方程的数值解法去确定利率和债券价格,这具有很好的将理论研究用于实际问题的意义。本文根据随机利率模型求解困难这个实践中常见的问题,利用相应的数值解法,结合二叉树原理,提出了一种快速估计利率的算法,从而可以在实践中对证券价格进行确定.
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