重分形分析是分形几何和动力系统的一个重要分支。重分形测度及重分形分析的概念首先由一些物理学家[39]提出。Barreira, Pesin和Schmeling[5]提出了如下一般的重分形框架。设X是一个恰当的集合,Y∈X,考虑函数g：Y→[—∞,+∞].显然,g的水平集是不交的。从而,X有以下重分形分解：另外,设G是定义在X的所有子集上满足单调性的集函数。定义函数F：[—∞,+∞]→R为：我们称F是由函数对（g,G）生成的重分形谱。有很多很自然的方式选取g和G,参见文献[5].式（0-1）中的集合X\Y是使得函数g没有定义的点组成的集合,我们称之为不正则集。在以上一般的重分形框架下,我们需要面临如下两个问题：（1）函数g的定义域,即函数g的存在性及不正则集的刻画；（2）各种重分形谱F的计算或估计。本文主要围绕这两个问题,对某些分形测度展开研究。本文分为三部分。1.一类满足开集条件的Moran测度的点态维数测度是研究分形集的基本工具。测度的局部性质的研究在分形几何中显得尤为重要。本文第三章我们利用Moran网填充测度,建立了关于填充维数的Billingsley定理。利用测度的维数和点态维数之间的关系以及Billingsley定理,得到了一类满足开集条件的Moran测度的上（下）点态维数公式（在几乎处处的意义下）。作为应用,我们还得到了这类Moran测度的Hausdorff维数和填充维数。2.无分离条件自相似测度的Lq-谱Lq-谱在测度的重分形分析中扮演重要角色。在第四章我们证明了当q≤1时一般自相似测度的上填充Renyi维数不会超过Lq-谱这一结果,然后结合自相似测度的上覆盖Renyi维数和Lq-谱之间的关系,得到当q≤1时自相似测度的Lq-谱的非平凡估计,回答了Olsen [66]提出的一个问题。作为一个应用,我们得到无分离条件的自相似测度重分形谱的一个非平凡上界估计,并讨论了两个不满足开集条件的自相似测度的例子：（2,3）-Bernoulli卷积和λ-Cantor测度。3.两类不正则集的刻画一般而言,不正则集从（不变）测度的角度讲是零测集。正因为如此,不正则集在很长一段时间内被认为不重要而被忽视。但是,近来越来越多的文献表明不正则集从维数角度而言是很“大”的,且具有丰富的分形结构,见文献[4,6,7,20,36,51,55,64,65,81]及其引文。本文第五章我们讨论了开集条件下自相似测度精细不正则集的维数。设μ是支撑在自相似集K上满足开集条件的自相似测度。对χ∈K,令A（D（χ））表示当r↘0时函数Dr（x）:=（logμ（B（x,r）））/（logr）的聚点集。我们证明了对任意χ∈K,集合A（D（χ））要么是一单点集要么是一个闭区间。对任意闭区间I∈R,我们利用Vitali覆盖引理,加细型计盒原理以及构造Moran子集的技巧,计算了使得A（D（χ））=I的点χ组成集合（自相似测度精细不正则集）的Hausdorff维数和填充维数。我们的结果解决了Olsen和Winter[64]提出的一个猜想,并且包含了Arbeiter和Patzschke[1]的经典结果。本文第六章我们讨论具有specification性质的动力系统的不正则集的拓扑熵。设（X,f）是一拓扑动力系统。类似于自相似测度精细不正则集的定义,我们定义了Birkhoff平均的精细不正则集。在（X,f）满足specification性质的假设下,我们利用熵分布原理及构造动力Moran子集的技巧,计算了Birkhoff平均的精细不正则集的拓扑熵。我们的结果包含了Takens和Verbitskiy[79]的经典结果,并且再次显示了不正则集从维数的角度看可以很“大”、可以具有丰富的结构。作为应用,我们给出了Birkhoff平均的不正则点集具有满拓扑熵的一个简洁证明。