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等周不等式:若L,A分别是平面域D的周长和面积,则有L~2-4πA≥0,等号成立当且仅当D是圆盘。在二维欧氏平面,Bonnesen于1920年得到了加强的等周不等式,即L~2-4πA≥π~2（re-ri）~2,其中ri,re分别为域D的最大内切圆和最小外接圆的半径。周家足于2004年得到了一系列Bonnesen型不等式。2006年,周家足和陈方维于得到了常曲率平面内的一系列类似的Bonnesen型不等式。高维欧氏空间中的等周不等式是著名的Alexandrov-Fenchle不等式。在本文中,我们得到的三、四维欧氏空间中的Bonnesen型不等式是关于凸体K的平均曲率平方积分∫（?）KH~2dσ的下界估计。数学家希望得到只与域的几何不变量有关的一个域包含另一个域的充分条件。Hadwiger于1941年首先用积分几何的思想方法和欧氏平面内一个域包含另一个域的运动测度得到了一个域包含另一个域的充分条件。用类似的方法,1988年,张高勇得到了三维欧氏空间中一个凸体包含另一个凸体的充分条件;1994年,周家足得到了四维欧氏空间中一个凸体包含另一个凸体的充分条件;1995年,周家足得到了高维欧氏空间及三维常曲率空间中一个域包含另一个域的充分条件。本文是在周家足的积分几何思想方法和张高勇与周家足的包含测度的结果的基础上,得到了三、四维以及n维欧氏空间中的一些Bonnesen型不等式。本文中用到的周家足的积分几何思想方法:在n维欧氏空间Rn中,设Ki（i=0,1）是两个紧致连通有界且具有光滑边界曲面（?）Ki的域,G是Rn中运动群,dg是群G上的运动测度。则有如下的包含测度:如果我们能用域K0与K1的几何不变量来估计测度m{g∈G:K0∩gK1≠φ}的下界和测度m{g∈G:（?）K0∩g（（?）K1）≠φ}的上界,即估计积分∫{g∈G:K0∩gK1≠φ}dg的下界和∫{g∈G:（?）K0∩g（（?）K1）≠φ}dg的上界,因为和于是我们可得到如下的不等式其中每个Iiα（i=0,1;α=1,…,l）是域Ki的积分几何不变量。我们可以得到如下的结论:1.若f（I0~1,…,I0l;I1~1,…,I1l）＞0,则存在一个等距运动g∈G,使得gK1（?）K0或gK1（?）k0。从而得到一个域包含另一个域的充分条件。2.若取K0≡K1（≡K）,则不存在等距运动g∈G,使得gK1（?）K0或gK1（?）K0。因而有f（I~1（K）,…,Il（K））≤0,这将导出一个关于域K的几何不等式。3.若分别取K0为域K1（≡K）的最大内切球或最小外接球,则不存在等距运动g∈G,使得gK1（?）K0或gK1（?）K0。从而有如下两个不等式:其中ri,re分别为K的最大内切球和最小外接球的半径。由上两个不等式将得出Bonnesen型不等式。4.若取K0是半径为r（ri≤r≤re）的球,其中ri,re分别为K1（≡K）的最大内切球和最小外接球的半径,则不存在等距运动g∈G,使得gK1（?）K0或gK1（?）K0。同理可得到一个不等式此不等式叫做Bonnesen型不等式。包含测度:在n维欧氏空间Rn中,设Ki（i=0,1）是两个具有光滑边界曲面（?）Ki的凸体,g是一个刚体运动。不妨设Vi,Wr（i）,Ai,Ni分别表示凸体Ki的体积、第r阶Minkowski均质积分,凸曲面（?）Ki的面积、平均曲率平方的积分。则在不同维数的欧氏空间中,一个凸体包含另一个凸体的包含测度分别如下:1.在三维欧式空间R~3中,一个凸体包含另一个凸体的包含测度为（张高勇）:2.在四维欧式空间R~4中,一个凸体包含另一个凸体的包含测度为（周家足）:3.在n维欧式空间Rn中,凸体K1包含凸体K0的的包含测度为（张高勇）:其中B0为凸体K0的平均宽度,A1为凸体K1的表面积。包含测度可理解为是由包含问题所产生的,而平面包含问题与等周不等式、加强的等周不等式以及Bonnesen型不等式都密切相关。所谓包含问题是:给定欧氏空间Rn中的两个域Dk（k=i,j）,它们满足什么条件时其中一个域可以“移动”到另一个域内?更准确地说,是否存在欧氏空间Rn中的等距运动g,使得Di包含gDj、或Di包含于gDj?一般我们希望的答案是与域Dk的不变量有关。最理想的结果是与域Dk的体积Vk、表面积Ak以及Dk的边界曲面（?）Dk的曲率积分有关。由于本文是对凸体进行讨论,所以最理想的结果是与域Dk的体积Vk、表面积Ak以及Minkowski均质积分有关。本文应用周家足的积分几何思想方法和张高勇与周家足的包含测度的结果得到了的主要结论如下:1.三维欧氏空间R~3中的结论定理1:设K是三维欧氏空间R~3中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。H,A,V,W2分别为（?）K的平均曲率、面积,K的体积和Minkowski均质积分。则有当K是球时,等号成立。定理2:设K是三维欧氏空间R~3中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。H,A,V,W2分别为（?）K的平均曲率、面积,K的体积和Minkowski均质积分,ri,re分别为K的最大内切球和最小外接球的半径。则对于任意半径为r（ri≤r≤re）的球,有如下的Bonnesen型不等式当K是半径为r球时,等号成立。定理3:设K是三维欧氏空间R~3中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。H,A,V,W2分别为（?）K的平均曲率、面积,K的体积和Minkowski均质积分,ri,re分别为K的最大内切球和最小外接球的半径。则有如下的Bonnesen型不等式当K是半径为r球时,等号成立。2.四维欧氏空间R~4中的结论定理4:设K是四维欧氏空间R~4中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。H,A,V分别为（?）K的平均曲率、面积,K的体积。则有当K是球时,等号成立。定理5:设K四维欧氏空间是R~4中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。H,A,V分别为（?）K的平均曲率、面积,K的体积,ri,re分别为K的最大内切球和最小外接球的半径。则对于任意半径为r（ri≤r≤re）的球,有如下的不等式当K是半径为r球时,等号成立。定理6:设K四维欧氏空间是R~4中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。H,A,V分别为（?）K的平均曲率、面积,K的体积,ri,re分别为K的最大内切球和最小外接球的半径。则有如下的不等式当K是半径为r球时,等号成立。3.n维欧氏空间Rn中的结论定理7:设K是n维欧氏空间Rn中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。A,V,B分别为（?）K的面积,K的体积和平均宽度。则有如下的不等式V≤AB/2n,当K是球时,等号成立。定理8:设K是n维欧氏空间Rn中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。A,V,B分别为（?）K的面积,K的体积和平均宽度,ri,re分别为K的最大内切球和最小外接球的半径。则对于任意半径为r（ri≤r≤re）的球,有如下的不等式1).当（V/ωn）1/n≤r≤re时,则2).当ri≤r≤（V/ωn）1/n时,则当K是半径为r球时,两不等式的等号成立。其中ωn表示维单位球的体积。定理9:设K是n维欧氏空间Rn中具有C~2类光滑边界曲面（?）K的凸体。A,V,B分别为（?）K的面积,K的体积和平均宽度,ri,re分别为K的最大内切球和最小外接球的半径。则有如下的不等式当K是半径为r球时,等号成立。