【摘 要】
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本文共分四部分.第一部分是本文的引言,介绍了椭圆偏微分方程的发展及取得的成果,并引入了定理1.1和定理1.2.第二部分,是预备知识.介绍了R2和R3中的曲线和曲面的几何性质,然
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本文共分四部分.第一部分是本文的引言,介绍了椭圆偏微分方程的发展及取得的成果,并引入了定理1.1和定理1.2.第二部分,是预备知识.介绍了R2和R3中的曲线和曲面的几何性质,然后简要叙述了函数凸水平集的概念,推导出利于定量估计的部分公式.第三部分在二维的情形下证明了椭圆偏微分方程水平集凸性的曲率估计,这部分主要运用了极值原理来证明我们所需的结论：定理1.1假设Ω是R2中的有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω),并且u是平均曲率型方程在Ω中的一个解.设在Ω上,有|▽u|≠0,而且水平集沿外法向▽u是严格凸的.如果假设K是u的水平集的曲率.则函数|▽u|-2K的极小值在边界上取到.第四部分是证明定理1.2.定理1.2假设Ω是R3中的有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω),并且u是平均曲率型方程在Ω中的一个解.设在Ω上,有|▽u|≠0,而且水平集沿外法向▽u是严格凸的.如果假设K是u的水平集的高斯曲率.则函数|▽u|-2K的极小值在边界上取到.
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