现代变分理论是把寻找方程或方程组解的问题转化为寻找某个泛函J在适当的空间E上的临界点问题，再利用临界点理论中强有力的方法，例如极小极大方法、Morse理论等去寻找该泛函的临界点。于是，寻找泛函的临界点成为解决问题的关键所在。 本文首先考虑由模拟一类二阶椭圆方程而得到的四阶非线性椭圆方程问题：{Δ2u+cΔu=f(x,u)inΩu=Δu=0on()Ω(P1)在c＞λ1(λ1是-Δ在H01(Ω)中的第一特征值)的情形下，我们得到了上述四阶方程(P1)存在无穷多非平凡弱解的结论。接着，我们讨论了下述四阶椭圆方程：{Δ2u+cΔu+a(x)u=f(x,u)inΩu=Δu=0on()Ω(P2)在c＞λ1(λ1是-Δ在H01(Ω)中的第一特征值)的情形下非平凡弱解的存在性。最后，我们利用拓扑度理论验证了当c＜λ1时一类四阶椭圆方程组{Δ2u+cΔu=f(x,u,v)inΩΔ2v+cΔv=g(x,u,v)inΩu=Δu=0,v=Δv=0on()Ω(P3)正的弱解存在性。 本文共分为四章。第一章介绍了临界点理论一些主要的发展过程以及相关的记号与基本知识；第二章利用喷泉引理证明了四阶椭圆方程(P1)无穷多个弱解的存在性；第三章利用局部环绕理论来讨论半线性四阶椭圆方程(P2)，得到了它有一个非平凡弱解的结论；第四章运用拓扑度理论研究了四阶椭圆方程组(P3)正的弱解存在性的问题。