超儿何函数、椭圆积分、偏差函数以及与其相关的其他特殊函数在数学学科的许多重要分支、某些其它学科及工程技术中都有着重要的应用。其中,第一类、第二类完全椭圆积分K(r)、ε(r)及其相关的特殊函数m(r)和Hersch-Pfluger偏差函数φK(r)在拟共形理论中尤为重要。拟共形Schwarz引理是拟共形映射的最重要的性质之一,而在此性质中,Hersch-Pfluger偏差函数φK(r)给出了单位圆盘到单位圆盘的K-拟共形映射的精确界。而且拟共形映射的其它偏差性质都与φ,((r)有关或由φK(r)表征。此偏差函数不仅在拟共形理论中发挥着极为重要的作用,而且它还在数论等其它数学领域中有着广泛的应用。φK(r)的一些性质尤其是其精确界的估计依赖于Hubner上界函数M(r)。另一方面,我们需要用初等函数给出φK(r)的显式界。因此,研究揭示M(r)的性质、改进其已知的界进而改进φK(,)的已知结果具有重要的理论意义和应用价值。本文通过揭示某些由完全椭圆积分定义的函数之单调性与凹凸性,研究完全椭圆积分的两个近似表达式,导出完全椭圆积分的精确不等式。另外本文研究了拟共形理论中著名的Hubner不等式中的函数M(r)的形如(r’)αlog4的上界估计中的最佳指数α为何值这一问题,获得了inax{c不等式M(r)<(r’)log4对一切r∈(0,1)成立}的上下界估值,证明了min{c:Al(r)>(1-r)clog4对一切r∈(0,1)成立}=1。从而改进了已知的此类估计与由此类估计得出的拟共形理论中极为重要的Hersch-Pfluger偏差函数φK(r)的上界以及相应的显式拟共形Schwarz引理。本文分为三章：第一章,主要介绍了Gauss超几何函数F(a,b；c;x)、完全椭圆积分、广义椭圆积分、Hubner函数及Hersch-Pfluger偏差函数等概念和记号,以及国内外的研究现状,并简要阐述了它们的理论意义和应用价值。第二章,我们研究了某些由完全椭圆积分定义的函数之单调性与凹凸性,获得了完全椭圆积分的精确不等式。第三章,我们研究了拟共形理论中著名的Hubner不等式中的函数M(r)的形如(r’)"log4的上界估计中的最佳指数α为何值这一问题,改进了Hersch-Pfluger偏差函数φK(r)的上界以及相应的显式拟共形Schwarz引理。