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本文主要研究R2中一类描述玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation,简记作:BEC)的能量泛函在L2范数下的约束极小问题.其中包括在粒子间相互吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚的平均场近似,在粒子间相互非齐次吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚中出现的坍塌和集中现象,以及非齐次质量临界薛定谔方程基态解的唯一性与极限行为. 本文共分四章: 在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景以及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作以及相关的预备知识和一些记号. 在第二章中,我们首先研究R2中一个多体薛定谔哈密顿系统,证明了在平均场理论的框架下,当粒子数N→∞,但是散射长度κ→0时,R2中在粒子间吸引作用下的玻色气体的基态能量会逼近于相关的Gross-Pitaevskii能量泛函的极小值.通过固定N|k|,就导出了R2中在粒子间吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚的一个平均场近似. 在第三章中,我们考虑R2中在粒子间相互非齐次吸引作用m(x)下的玻色-爱因斯坦凝聚,其在平均场理论的框架下可以通过Gross-Pitaevskii能量泛函描述.我们证明了极小可达元存在当且仅当吸引作用力a满足a<a*=‖Q‖22,其中Q是R2中方程△u-u+u3=0唯一的径向对称正解.于此同时,我们同样分析了当a趋近于a*时极小可达元的集中行为以及对称破缺现象.我们发现如果位势函数的全局极小值点x0恰好也是m(x)的一个全局极大值点,那么当a趋近于a*时极小可达元全部质量会集中在x0处. 在第四章中,我们通过分析相关的L2约束下的Gross-Pitaevskii能量泛函来研究一类带非齐次项质量临界的薛定谔方程的基态正解.与齐次情形,即m(x)≡1,不同的是,我们证明了当参数a达到临界门槛值a*时,基态解的存在性与非存在性都有可能发生,这完全依赖于非齐次项m(x).另外对m(x)和位势函数V(x)加上适当条件,我们还分析了对几乎处处的a∈[0,a*)基态解的唯一性和径向对称性.最后若位势函数V(x)的全局极小值在一个非空区域内达到,并且m(x)在此区域内达到全局极大值,且在极大值点附近足够平坦,则当参数a达到临界门槛值a*时,方程不会存在基态解.然后我们将分析当a↗a*时,基态解的极限行为,即基态解的全部质量会集中在m(x)的一个最平坦的全局极大值点处.