本文主要研究R2中一类描述玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation，简记作:BEC)的能量泛函在L2范数下的约束极小问题.其中包括在粒子间相互吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚的平均场近似，在粒子间相互非齐次吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚中出现的坍塌和集中现象，以及非齐次质量临界薛定谔方程基态解的唯一性与极限行为.　　本文共分四章:　　在第一章中，我们概述本文所研究问题的背景以及国内外研究现状，并简要介绍本文的主要工作以及相关的预备知识和一些记号.　　在第二章中，我们首先研究R2中一个多体薛定谔哈密顿系统，证明了在平均场理论的框架下，当粒子数N→∞，但是散射长度κ→0时，R2中在粒子间吸引作用下的玻色气体的基态能量会逼近于相关的Gross-Pitaevskii能量泛函的极小值.通过固定N|k|，就导出了R2中在粒子间吸引作用下的玻色-爱因斯坦凝聚的一个平均场近似.　　在第三章中，我们考虑R2中在粒子间相互非齐次吸引作用m(x)下的玻色-爱因斯坦凝聚，其在平均场理论的框架下可以通过Gross-Pitaevskii能量泛函描述.我们证明了极小可达元存在当且仅当吸引作用力a满足a＜a*=‖Q‖22,其中Q是R2中方程△u-u+u3=0唯一的径向对称正解.于此同时，我们同样分析了当a趋近于a*时极小可达元的集中行为以及对称破缺现象.我们发现如果位势函数的全局极小值点x0恰好也是m(x）的一个全局极大值点，那么当a趋近于a*时极小可达元全部质量会集中在x0处.　　在第四章中，我们通过分析相关的L2约束下的Gross-Pitaevskii能量泛函来研究一类带非齐次项质量临界的薛定谔方程的基态正解.与齐次情形，即m(x）≡1，不同的是，我们证明了当参数a达到临界门槛值a*时，基态解的存在性与非存在性都有可能发生，这完全依赖于非齐次项m(x).另外对m(x)和位势函数V(x）加上适当条件，我们还分析了对几乎处处的a∈[0，a*）基态解的唯一性和径向对称性.最后若位势函数V（x)的全局极小值在一个非空区域内达到，并且m(x）在此区域内达到全局极大值，且在极大值点附近足够平坦，则当参数a达到临界门槛值a*时,方程不会存在基态解.然后我们将分析当a↗a*时，基态解的极限行为，即基态解的全部质量会集中在m(x)的一个最平坦的全局极大值点处.