相场模型主要是由偏微分方程表示的数学模型。对于两种不可压缩流体的混合界面问题,因界面几何结构和接口处位置的复杂性,建立相应的数学模型具有一定的难度。Allen和Cahn根据界面接口处的自由能,使用相场函数来描述非均匀体系中不同合金混合的分配比例,用变分导数本身来替代界面处自由能变分导数的拉普拉斯算子,引入了 Allen-Cahn方程。但此类相场模型的方程具有一定的复杂性,且没有真解的解析表达式,所以在解决实际问题时采用数值方法对相场模型进行模拟就显得尤为重要。关于这类模型的数值逼近已有很多工作,有限差分方法、有限元方法和谱方法等。本文的主要工作是分析一维和二维的带有狄利克雷边界条件的Allen-Cahn方程的有限差分格式,阐述如何构造Allen-Cahn抛物型方程的Crank-Nicolson差分格式,同时也介绍对应的数值格式理论分析,包括截断误差估计、收敛性及数值解的最大值原理。具体地说,针对一维的非线性Allen-Cahn方程,建立了二阶Crank-Nicolson差分格式,并给出差分格式的截断误差。运用Browder不动点定理,证明了差分格式数值解的存在性。对非线性项引入了满足Lipschitz条件的辅助函数,采用能量分析方法及先验估计理论证明了数值解在无穷范数下无条件收敛。在此基础上,验证出在一定条件下,差分格式数值解满足最大值原理并解除了步长比的限制。本文将该格式进一步推广至二维方程,对二维Allen-Cahn方程建立了Crank-Nicolson差分格式,给出差分格式解的存在性证明,并对数值解在无穷范数下的收敛性以及离散最大值原理进行研究说明。最后给出一个数值算例,数值结果表明了所提格式的有效性。