【摘 要】
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近年来,压缩感知（Compressed sensing）在信号处理、数学理论、统计学、计算机学科等领域得到了广泛关注。压缩感知中的稀疏信号重建是一类优化问题。原始-对偶牛顿优化算法是求解这类问题的一类重要方法。由于该方法需要用到二阶导数的信息,因此是二阶优化算法。二阶优化算法在收敛速度等许多方面具有优势,但也存在一个明显的缺点,即每步更新都需要求解一个线性方程组。本文利用循环矩阵构造了几种具有快速
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近年来,压缩感知（Compressed sensing）在信号处理、数学理论、统计学、计算机学科等领域得到了广泛关注。压缩感知中的稀疏信号重建是一类优化问题。原始-对偶牛顿优化算法是求解这类问题的一类重要方法。由于该方法需要用到二阶导数的信息,因此是二阶优化算法。二阶优化算法在收敛速度等许多方面具有优势,但也存在一个明显的缺点,即每步更新都需要求解一个线性方程组。本文利用循环矩阵构造了几种具有快速矩阵-向量乘积的高斯随机采样矩阵,并且提出了一个简单高效的预处理方法,用来求解二阶优化算法中的线性方程组。本论文具体内容如下:（1）牛顿迭代法每次更新需求解一个对称正定的线性方程组,可以使用共轭梯度法来求解。由于共轭梯度法的运算量主要集中在矩阵-向量乘法上,本文提出了三种基于循环矩阵的采样矩阵,以降低矩阵-向量乘积的计算成本。可以验证这些矩阵的元素服从次高斯分布,故而满足约束等距性质,可以作为压缩感知的采样矩阵,并且具有快速的矩阵-向量乘法。我们提出的采样矩阵和一般随机矩阵相比,可以有效地减少信号重建所需的时间。我们通过数值实验对本文中提出的三种采样矩阵进行了比较,分析了各自的特点和适用场景。（2）当牛顿法的迭代点接近最优解时,我们发现对应线性方程组的系数矩阵的条件数会变得很大,共轭梯度法的收敛速度变慢,此时需要使用预处理方法来改善收敛性质。本文提出了一种简单高效的预处理方法。数值实验表明预处理后共轭梯度法所需的迭代步数明显减少,同时,跟目前已有的预处理方法相比,本文提出的预处理方法更容易求解,并且所需的时间更少。最后,我们将本文算法和压缩感知领域常用的算法TFOCS和Tw IST进行了对比,数值结果表明本文的求解方法是实用高效的。
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