论文部分内容阅读
微分方程的振动性理论是微分方程理论中的一个十分重要的分支，它具有深刻的物理背景和数学模型。近年来，这一理论在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视。有大批学者从事这方面的理论研究，取得了一系列较好的结果。研究微分方程的振动性理论，有较好的发展前景，并有较高的实用价值。微分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一。随着自然科学和生产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存在或者是否微分方程的一切解均为振动解的问题。特别是近几十年，微分方程解的振动性研究发展得相当迅速，其中以二阶超线性微分方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展（部分结果可参见文[1]-[35]）。本文利用推广的Riccati-变换及积分平均技巧，函数的单调性对几类二阶超线性微分方程进行了进一步的研究，得到一些新的结果。根据内容本文分为以下三章：第一章概述本论文研究的主要问题。第二章在这一章中，我们分三节研究几种二阶超线性微分方程的振动性。其主要结果如下：第一、二节我们主要考虑了如下带阻尼项的二阶超线性微分方程的振动性（a（t）y′（t））′+p（t）y′（t）+q（t）f（y（t））=0，t≥t0．（2．1．1）在第一节中，主要利用了平均积分方法和Riccati变换将俞元洪在文[17]中的结论推广和改进到更一般的超线性阻尼微分方程（2．1．1）中，得到了一些新的振动性准则。在第二节中，引进了积分算子Aab，并且对方程（2．1．1）利用此算子将上述结果做了进一步的推广和改进，最后得到了一些应用更广泛的新的振动性准则。在第三节中，我们考虑了如下二阶超线性微分方程的振动性（a（t）y′（t））′+q（t）f（y（t））=0，t≤t0．（2．3．1）这节的主要目的是在上述已有结论的基础上，应用了一些新的方法，得出了关于超线性微分方程（2．3．1）的一些新的振动性准则。第三章在这一章中，我们主要研究二阶非线性时滞微分方程的区间振动性。我们考虑了下面的二阶非线性时滞微分方程的区间振动性x″（t）+q（t）f（x（τ（t）））=0，t≥t0≥0．（3．1．1）这节我们将得到方程（3．1．1）在[t0，∞)的子区间上的一些区间振动的结论。我们的结论也包含函数f（x）的次数并不影响振动性，并且推广和改进了文[31]中的结论，从而得到了一些新的振动性结果。