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求解非线性方程是广泛关注的热点问题,在数学、物理、工程学中都有很多应用。由于非线性方程一般没有精确解的解析表达式,所以通常采用近似解法。常见的方法有两种:一种是数值方法,二是以摄动法为代表的解析近似法。由于这两种解法得到的都是近似解,因此近似解的误差不能不让人关注。
本文以摄动法中的多重尺度法为基础,讨论差分形式的Duffing方程的初值问题。利用多重尺度法,我们给出了差分方程的解的首项近似表达式,并进一步讨论了近似解的第二项。近似解的首项在已知文献中已有述及,但确定第二项需要求解一个周期系数的一阶非齐次线性方程组。
为简单起见,我们在初值y0=0,y1=1的条件下,本文对差分方程的解的首项近似的误差给出了误差估计。参照微分形式Duffing方程摄动近似解的误差估计方法,写出首项误差满足的离散差分方程,证明首项误差满足一个离散形式的非线性Gronwall不等式,进而证明存在ε0>0,L>0,使得0≤ε≤ε0,εn≤L时,首项误差不超过m(εN)ε,其中m(τ)≥0是[0,L]上的连续函数。