基于李代数上符号计算,本论文主要研究了可积与超可积系统的可积耦合、自相容源和守恒律,分数阶可积与超可积系统,孤子方程的代数几何解.本文的主要内容分为以下四个部分：1.用不同的方法研究了三个可积方程族的可积耦合.通过扩展圈代数构造了一个新的谱问题,由屠格式给出耦合mKdV族的可积耦合及其Hamilton结构；从李代数出发,由扩大的谱矩阵构造了Guo族的非线性可积耦合,利用变分恒等式给出其Hamilton结构；引进一组新的显式李代数,构造了方程族的非线性可积耦合及其Hamilton结构.最后基于扩大的矩阵李超代数,由超迹恒等式给出了超Kaup-Newell族的非线性可积耦合及其超Hamilton结构,并通过约化得到了经典Kaup-Newell族的非线性可积耦合.2.利用构造可积耦合的方法给出了Li族的非线性可积耦合,用源生成理论导出了非线性可积耦合的自相容源及其守恒律；从圈李超代数得到的超Tu族出发,用源生成方法导出带自相容源的Tu族及其守恒律.3.基于分数阶微积分理论,给出Kaup-Newell族的分数阶可积耦合及其Hamil-ton结构；由分数阶超迹恒等式,得到了分数阶超Broer-Kaup-Kupershmidt族及其分数阶超Hamilton结构,并给出其分数阶非线性可积耦合及分数阶超Hamilton结构.4.讨论了孤子方程的代数几何解.由一个新的谱问题给出广义Kaup-Newell族及其Hamilton结构.将约化出的Kaup-newell方程分解成可解的常微分方程.引入恰当的椭圆坐标和Abel-Jacobi坐标把流直化,由黎曼定理,根据θ函数得到孤子方程的代数几何解.