【摘 要】
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单峰型问题一直是组合数学研究中的重要课题,不仅具有研究意义,还与其他学科密切相关,例如,经常在计算机科学,经济学和生物学等学科中出现.近年来,图多项式的单峰型问题已被广泛研究,例如,图的独立多项式和图的色多项式.本文考虑另一类有趣的多项式,图的边覆盖多项式.本文为了研究一些图的边覆盖多项式的单峰型问题,主要通过容斥原理或多项式的递推关系给出图的边覆盖多项式,进而研究图的单峰性和对数凹性.具体内容如
【基金项目】
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国家自然科学基金青年科学基金项目与Catalan-like数相关的组合问题研究,（项目编号:11701249）；
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单峰型问题一直是组合数学研究中的重要课题,不仅具有研究意义,还与其他学科密切相关,例如,经常在计算机科学,经济学和生物学等学科中出现.近年来,图多项式的单峰型问题已被广泛研究,例如,图的独立多项式和图的色多项式.本文考虑另一类有趣的多项式,图的边覆盖多项式.本文为了研究一些图的边覆盖多项式的单峰型问题,主要通过容斥原理或多项式的递推关系给出图的边覆盖多项式,进而研究图的单峰性和对数凹性.具体内容如下:第一部分,着重介绍单峰型问题和边覆盖多项式的研究背景和发展情况,并简单叙述本论文的研究方法和主要研究内容.第二部分,给出了完全图的边覆盖多项式和?阶图的平均边覆盖多项式的单峰性证明.首先根据容斥原理,给出完全图的边覆盖多项式,再根据多项式的递推关系和霍尔匹配定理分两部分证明完全图的边覆盖多项式的单峰性,最后建立?阶图的平均边覆盖多项式与完全图的边覆盖多项式之间的公式,证明?阶图的平均边覆盖多项式是单峰的,且至少有（n-3）个非实根.第三部分,给出了一些图的边覆盖多项式的对数凹性证明.首先根据多项式的递推关系,给出一些图的边覆盖多项式,包括蜈蚣图Wn及其变化图Dn,21,毛虫图Hn及其变化图Dn,21,脊椎图Vn3及其变化图Dn,31,脊椎图Vnt及其变化图Dn,t1,再借助Newton不等式证明它们的边覆盖多项式是对数凹的.第四部分,根据多项式的递推关系,给出了一些图的边覆盖多项式,包括爆竹图Fn3,图H2m+1和图H2m.
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