本论文主要研究的是关于某些平面图的多项式及其着色问题.对平面图着色情况的研究提供了一个新的途径,即通过计算平面图对应的对偶图的多项式,并对多项式的零点进行讨论,从而得出这些平面图的着色数目规律.本文回顾纽结理论与图论中的相关知识,定义一类二邻边-n融合平面图G_{[m 1]（10）[m 2]（10）（42）（10）[nm]}.从n（28）2时的二邻边-2融合平面图G_{[m 1]（10）[m 2]}的着色数目规律入手,再探究n（28）3时的二邻边-3融合平面图G_{[m 1]（10）[m 2]（10）[m 3]}的着色数目规律,最后用相同的方法计算出二邻边-n融合平面图G[_{m 1}]_（10）[_{m 2}]_{（10）（42）（10）}[_{m n}]的着色数目规律:当m₁,m₂,（42）,m_n均为偶数时,至少需要两种或两种以上颜色使其着色;当m₁,m₂,（42）,m_n中至少有一个为奇数时,至少需要三种或三种以上颜色使其着色.再将平面图进行剖分,计算并比较平面图经过剖分后的着色数目变化规律.文中只提供了二邻边-2融合平面图G[_{m 1}]_（10）[_{m 2}]的计算过程.如果将图G[_{m 1}]_（10）[_{m 2}]广义剖分,经过剖分后图的着色情况为:当m₁,m₂均为偶数时,图的最小着色数目增加1;其余情况,图的最小着色数目不变.如果将图G[_{m 1}]_（10）[_{m 2}]三角剖分,经过剖分后图的着色情况为:当m₁,m₂中至少有一个为奇数时,剖分后的图的最小着色数目减少1;其余情况,图的最小着色数目不变.将上述结论应用到纽结理论中,从理论角度说明纽结表中大部分纽结的着色情况.利用纽结的方括号多项式和图的色多项式的关系,计算一些有代表性的纽结的色多项式.并分析纽结的着色情况,将其结果与应用上述结论得到的结果进行比对.可以体现出本文研究的必要性与价值。