【摘 要】
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分数阶偏微分方程是传统整数阶偏微分方程的推广和延伸,目前被广泛地应用于模拟工程、机械工程、电子工程、物理、化学、生物等科学领域,引起了越来越多国内外学者的关注.一般情况下,绝大多数分数阶偏微分方程很难给出显示的解析解,如变系数分数阶偏微分方程.因此,分数阶偏微分方程的数值解法研究就显得尤为重要.本文针对带Robin边界条件的空间分数阶对流-扩散方程和带分数阶边界条件的空间分数阶扩散方程的有限差分方
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分数阶偏微分方程是传统整数阶偏微分方程的推广和延伸,目前被广泛地应用于模拟工程、机械工程、电子工程、物理、化学、生物等科学领域,引起了越来越多国内外学者的关注.一般情况下,绝大多数分数阶偏微分方程很难给出显示的解析解,如变系数分数阶偏微分方程.因此,分数阶偏微分方程的数值解法研究就显得尤为重要.本文针对带Robin边界条件的空间分数阶对流-扩散方程和带分数阶边界条件的空间分数阶扩散方程的有限差分方法进行研究,利用经典的Grünwald-Letnikov公式、移位的Grünwald-Letnikov公式以及加权移位Grünwald-Letnikov公式对空间分数阶导数进行离散,建立有限差分格式,对这两类空间分数阶偏微分方程进行了数值求解.本文主要研究两类空间分数阶偏微分方程的有限差分方法.全文一共由四个章节构成.第一章,介绍与分数阶偏微分方程数值解相关的研究背景和研究现状,总结前人所做的工作,阐述本文的主要工作,并给出本文需要用到的预备知识.第二章,研究带Robin边界条件的空间分数阶对流-扩散方程的数值解.利用移位的Grünwald-Letnikov公式对Riemann-Liouville分数阶导数进行离散,灵活地处理Robin边界条件的离散格式,使得边界上的离散精度与整体的离散精度保持一致,得出一种无条件稳定且收敛的一阶隐式有限差分格式,最后通过数值实验对该差分格式的稳定性和收敛性进行了验证,进一步验证了理论分析的可靠性和准确性.第三章,考虑带分数阶边界条件的空间分数阶扩散方程的数值解.结合经典的Grünwald-Letnikov公式和移位的Grünwald-Letnikov公式,构造出一个在时间上有一阶精度、在空间上有二阶精度的加权隐式有限差分格式,将分数阶扩散方程和分数阶边界条件在空间上的精度同时提高至二阶,然后讨论该有限差分格式的可解性和相容性,并证明该格式当且仅当（?）时是无条件稳定和收敛的.最后用数值算例验证了该格式的有效性,通过数值算例可以看出该格式在空间上具有二阶的收敛精度.在第四章,总结了本文的工作,并提出了对未来工作的展望.
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