【摘 要】
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设A为正整数集的一个无限子集.对于任意的正整数n,用r(A,n)表示方程n = a + b,a,b∈A,a≤b的解数.用|A(x)|表示集集合中不超过正实数x的整数的个数.1998年,Nicolas, Ruzsa和(
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设A为正整数集的一个无限子集.对于任意的正整数n,用r(A,n)表示方程n = a + b,a,b∈A,a≤b的解数.用|A(x)|表示集集合中不超过正实数x的整数的个数.1998年,Nicolas, Ruzsa和(?)证明了:存在正整数集的无限子集A,使得对所有充分大的整数《都有r(A,n)≠1,并且(?)|A (x)|(logx)-2≤(log2)-2.他们还证明了:如果A为正整数集的无限子集,且对所有充分大的整数n都有r(A,n) ≠ 1,那么(?)|A(x)|(loglogx/logx)3/2 ≥1/20. 2004 年,Balasubramanian 和Prakash证明了:存在一个绝对常数c>0满足下述性质:若A为正整数集的无限子集,且对所有充分大的正整数n都有r(A,n)≠1,则对所有充分大的x都有|A(x)|≥c(logx/loglogx)2.本文主要证明了:若A为正整数集的无限子集且对所有充分大的整数n都有r(A,n)≠ 1,则对所有充分大的 x 都有 |A(x)|>1/2(logx/loglogx)2.用σ(n)表示正整数《的所有正约数的和,E(x)表示不超过x的满足,σ(n)≥ 2n的连续正整数《的最多个数.1935年,P. Erdos证明了:存在两个正常数 c1和 c2,使得 c1 logloglogx≤E(x)≤c2logloglogx. 2011年,Pol-lack借助实变函数的知识证明了当x→+∞时,E(x)/logloglogx趋于一个极限.本文仅用数论知识给出这个结论的另外一种证明.
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