本文分三章:第一章为引言;第二章利用压缩映射原理研究广义BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程Cauchy问题局部广义解的存在唯一性;第三章利用解的延拓定理证明上述Cauchy问题整体广义解的存在唯一性,并研究整体解的衰减性质.具体情况如下:我们研究下面广义BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程的Cauchy问题其中v(x,t)表示未知函数, G(s),g(s),fj(s),(j=1,2,…,n),为给定的非线性函数,△表示Laplace算子,α>0,β>0,γ>0,δ≠0为常数,v0(x)是定义在Rn上的已知初值函数.为讨论简单起见,作展缩变换v(x,t)=u(y,τ)=u(?),则方程(1)变成若记h(u)=((?)-1)u+(?)g(u),(?)=a,(?)=b,则上面的方程可写为不失一般性,研究下列Cauchy问题其主要结果如下:定理1设s>n/2,φ(x)∈Hs(Rn),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2,…,n),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=G(0)=0,(j=1,2,…,n),则问题(3),(4)存在唯一的局部广义解其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,同时,如果则T0=∞.定理2设s>n/2,φ(x)∈Hs(Rn),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2,…,n),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=G(0)=0,(j=1,2,…,n),[0,T0)是Cauchy问题(3),(4)解存在的最大时间区间,则T0<∞的充要条件是定理3(三维情形)设s>9/2,φ(x)∈Hs(R3),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2,3),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=G(0)=0,|fj(ξ)|≤C|ξ|3,(j=1,2,3),ξG(ξ)≤-C|ξ|2+λ,(λ>0,ξ∈R),h’(ξ)≥0,|h"(ξ)|≤C(1+|ξ|μ),μ>0,10μ<λ+2,其中C>0是常数,则问题(3),(4)存在唯一的整体广义解注1在定理3的条件下,当s>11/2时,Cauchy问题(3),(4)存在唯一的整体古典解定理4(二维情形)设s>4,φ(x)∈Hs(R2),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=C(0)=0,(j=1,2),ξG(ξ)≤0,h’(ξ)≥0,|h’(ξ)|≤C(1+|ξ|2),|G(ξ)|≤C|ξ|3,|fj(ξ)|≤C|ξ|3,(j=1,2),其中C>0是常数,则问题(3),(4)存在唯一的整体广义解注2在定理4的条件下,当s>5时,Cauchy问题(3),(4)存在唯一的整体古典解定理5(一维情形)设s>7/2,φ(x)∈Hs(R),h(ξ),f(ξ),,G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=f(0)=G(0)=0,ξG(ξ)≤0,h’(ξ)≥0,则问题(3),(4)存在唯一的整体广义解注3在定理5的条件下,当s>9/2时,Cauchy问题(3),(4)存在唯一的整体古典解定理6设n=3,s>9/2,φ(x)∈Hs(Rn),h(ξ),fj(ξ),(j=1,2,…,n),G(ξ)∈Ck(R),k=[s]+1,h(0)=fj(0)=G(0)=0,|fj(ξ)|≤C|ξ|3,(j=1,2,…,n),ξG(ξ)≤-C|ξ|2+λ,(λ>0,ξ∈R),G’(ξ)≤-B<0,h’(ξ)≥A>0,|h"(ξ)|≤G(1+|ξ|μ),μ>0,10μ<λ+2,则问题(3),(4)的整体解具有渐近性质其中λ=min{A+1,bB}注4在定理4(n=2)或定理5(n=1)的条件下,若也进一步假设则问题(3),(4)的整体解同样具有渐近性质(7)。