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本论文定义了时间尺度上的一类Sobolev空间并研究其重要性质，例如绝对连续表示定理，嵌入定理和该空间上一类泛函的连续可微性.作为这类Sobolev空间的应用，我们用变分方法中的临界点定理获得几类时间尺度上的动力系统解的存在性和多重性.为了应用临界点定理，我们在所定义的Sobolev空间上建立变分结构.在所建立的变分结构下，我们可将研究时间尺度上的动力系统的解转化为寻找其对应泛函的临界点.在得到几类时间尺度上的动力系统解的存在性和多重性结果的同时，举例说明所得结果的有效性.全文共分七章.
第一章简述了时间尺度的历史与研究现状，以及本文的主要工作.
第二章首先简述了时间尺度及时间尺度上的微积分的概念和相关性质，然后建立时间尺度上的一类Sobolev空间，并研究其重要性质，例如绝对连续表示定理，嵌入定理和该类空间上一类泛函的连续可微性.
第三章作为时间尺度上的Sobolev空间的一个应用，我们应用鞍点定理等研究时间尺度上的一类二阶Hamiltonian系统解的存在性.
第四章作为时间尺度上的Sobolev空间的另一个应用，我们在工作空间H1△，T上应用几个临界点定理获得一类二阶Hamilionian系统解的存在性和多重性.
第五章应用临界点定理研究时间尺度上一类具阻尼的二阶Hamiltonian系统解的存在性，并举例说明所得结果的有效性.
第六章考虑时间尺度上的一类阻尼振动问题，在我们定义的Sobolev空间上建立其对应的变分结构，应用临界点定理获得两个解的存在性结果和两个解的多重性结果，并举三个例子说明所得结果的有效性.
第七章总结本文的主要结果.