随机偏微分方程是最近二十多年来一个热门的研究课题，并且已经被广泛的应用于动力系统，流体力学，材料科学，金融等领域。同时，随机偏微分方程的理论研究也取得了很大的进展。总体说来，随机偏微分方程的研究方法分为两类。一类是直接将其对应的解作为时间与空间的函数，用相应偏微分算子对应的格林函数来定义mild解，并研究解的性质，如存在唯一性，距估计，密度存在性，大偏差等。该方法首先由Walsh于1985年给予系统介绍，并很快被应用到各种形式的随机偏微分方程。另一种方法是将随机偏微分方程看作一个无穷维的随机微分方程来处理，用相应的微分方程的驱动算子生成的半群来定义mild解，并研究其性质。本文将把这两种方法分别应用于三种形式的随机偏微分方程来证明解的存在唯一性以及其他性质。　　 本文考虑了三种随机偏微分方程：　　 第一种是由分式噪声驱动的高阶（四阶）热方程。通过对分式噪声积分的定义，给出Walsh意义下的mild解，即基于高阶热方程对应的格林函数的解，然后，利用Picard迭代的方法来证明该方程的解的存在唯一性。进一步，由Kolmogorov连续性准则以及对解的一些估计，我们得到该解的Holder连续阶数。最后，我们首次提出了用分式噪声的Malliavin分析来证明该噪声驱动的随机偏微分方程解的概率密度的存在性的方法，并得到了该高阶热方程的解的密度的存在性。　　 第二种方程是由分式噪声驱动的随机广义Burgers方程。该方程将一般的Burgers方程中关于空间变量的一阶微分算子的系数由二次函数推广到三次函数。由于系数的非Lipchitz性，我们用一种局部化的方法求得局部解。进而，通过局部解的p阶距的一致估计，得到了一个唯一的全局解。而该方法同样可推广到一阶微分算子的系数是三次以上幂函数的广义Brugers方程．同样，由分式噪声的Malliavin分析，我们证明了解的概率密度的存在性，并得到该密度的矩估计。　　 第三类方程是由无穷维布朗运动驱动的带记忆的随机偏微分方程。该带随机干扰项的方程由我们首次提出，其描述了材料科学中，在随机外力的干扰下，粒子的位置变化情况。由于方程中的记忆项，一般的用格林函数定义的mild解不再适用，取而代之的是用预解算子定义的mild解。我们首先通过局部化的方法得到一个唯一的局部mild解。接着引进一个能量函数来对方程的解加以控制，并通过对能量函数的负指数衰减性来得到一个唯一全局解。　　 另一方面，自从Black和Scholes[14]把几何布朗运动引入金融领域以后，扩散过程对金融工具的发展起了越来越重要的作用，其中，比较有名的模型有CIR模型、Vasicek模型及其扩展在随机利率方面的应用，而利率在现代金融中的作用至关重要，对利率的模拟、预测直接会影响到像债券、利率衍生品等的价格收益。在Vasicek模型的基础上，我们首次提出了带反射的跳扩散过程来模拟利率过程，从而避免了Vasicek模型下“负利率”的出现。同时，带跳的扩散过程更能反映利率的政策性瞬间调整。在此模型下，我们求解了可违约的一类欧式期权和信用违约互换的定价，并用一类偏积分微分方程来给出这些价格满足的方程。最后，我们又对这些方程的解用有限差分方法进行了数值逼近，并得到了收敛速度、相容性等结果。