有限元方法作为数值求解偏微分方程的有效方法,其思想是把区域离散化,然后用分片多项式函数对解析解进行逼近,因此可以对不规则复杂区域的问题进行高效求解.随着有限元方法研究的深入,已经有很多成熟的有限元程序包在工程界广受欢迎,并在工程计算中大量应用,发挥着不可替代的作用.在科技飞速发展的当代,对实际问题进行模拟的偏微分方程也在快速发展之中,所以探索新有限元方法仍是数值研究领域的重要课题之一.本论文拟对几类演化偏微分方程的有限元方法做进一步更深层次的研究,发展新算法,建立新理论.目的是研发并寻求剖分单元形状选取更加任意化,多项式选取更加多样化,数值格式适用求解更一般区域的问题,同时可以适用更复杂偏微分方程的新有限元方法.第一类演化偏微分方程是抛物型问题.我们使用超罚弱有限元方法处理抛物型问题.超罚弱有限元方法在剖分小单元边界具有双值函数,基于边上的双值函数,很自然的在边界上产生跳跃,进而引入罚项,因此网格剖分和多项式选取具有很强的灵活性.首先,在与热量传输相关的抛物方程研究中,对时间离散采用稳定的?隐格式,包括具有一阶收敛性的后向欧拉格式和具有二阶收敛性的Crank–Nicolson格式的时间离散,分析超罚弱有限元方法在能量范数和L2范数意义下的最优收敛阶.其次,针对反映不同界面热量变化的变系数抛物界面问题,其系数与时间t和空间x同时相关,引用超罚弱有限元方法,全离散格式中采用后向欧拉时间离散,通过使用两种不同的误差分析方法,即直接从误差方程出发和引入椭圆投影的方法,建立半离散和全离散格式相应的最优阶收敛性分析理论,同时用数值算例验证理论结果.第二类演化偏微分方程是耦合固体和流体问题的Biot固化模型.Biot固化模型也可以描述流体在弹性多孔介质中的流动,具有很广泛的应用.我们通过引入耦合位移和压力的总应力场变量对Biot固化模型问题的有限元方法进行研究.首先,建立以位移,总应力和压力为自变量的三场变量的有限元方法,时间离散使用后向欧拉格式,对Biot固化模型进行数值求解,给出相应的场变量在能量范数意义下或者L2范数意义下的误差估计.数值实验使用了总应力是连续和间断的两种最低阶的有限元空间,论证方法的可行性和收敛性,同时说明这个方法对弹性参数具有鲁棒性.其次,为了保证格式的质量守恒,在上述三场变量有限元方法的基础上,引入压力的流体通量作为新的未知场变量,并采用Crank–Nicolson时间离散格式,进而给出包括位移,总应力变量,流体压力,流体通量为场变量的求解Biot固化模型的四场变量混合有限元方法.该研究建立了相应的半离散和全离散格式的收敛性理论,同时用数值例子论证了其关于时间和空间的误差收敛阶.第三类演化偏微分方程是时间相关的空间分数阶问题.本论文通过引入与时间相关的τ范数,把V循环多重网格方法自然应用到τ→0的情况.同时对其多重网格有限元方法进行一致收敛性分析,并在数值实验中使用傅里叶变换方法,论证了其理论收敛性.第四类演化偏微分方程是流体动力学Stokes问题.为了研究COVID-19疫情中病毒的传播,我们开始探索演化Navier-Stokes方程和线性运输方程的耦合问题.在本论文中,我们考虑数值逼近不可压缩流体稳态的Stokes问题.通过引入新弱梯度,对稳态的Stokes问题建立新弱有限元方法.新弱有限元方法的优势是其可以使用任意多项式的组合构造弱有限元空间,其特点是不同变量的多项式次数选取更加独立,更加灵活.我们对Stokes问题的新弱有限元方法的inf-sup条件进行推导,证明其数值解的存在唯一性,建立了速度场在能量范数意义下和L2范数意义下的误差估计,并给出了压力场在L2范数意义下的误差分析.最后,用数值算例验证我们理论的有效性和收敛性.基于此部分的研究工作,对非稳态的Stokes及相关问题的研究与应用将会陆续呈现.