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摘要顺应社会的发展及课程改革的要求,“三等分角与数域扩充”被写进了中学数学选修课。这部分经典内容比较抽象,如何有效的实施教学是个挑战。
论文采用行动研究的方法,首先通过分析高等数学里面的相关理论,以及对学生认知现状的调查,设计教学内容,作为教学的材料,然后组织兴趣小组实施教学,在教学过程中修正自己的教学内容设计,得到一份完善后的教学内容设计方案,可作为教材编写或教师教学的参考材料。
通过调查发现高二学生对数系扩充与运算的关系、无理数概念、方程根与数域的关系等认识不够,对数形结合方法的应用意识还不够强。在教学实践中,学生表现出较浓厚的兴趣,不仅能学会知识,还能体会到重要的数学思想和方法。学生疑惑的地方主要为:a)尺规作图问题的转化;b)尺规作图的限制条件;c)尺规作图扩域的过程;d)证明尺规作图仅能作出那些实数等等。针对学生学习的状况,对教材编写和教学提出几点建议:1)应多举实例说明问题;2)充分调动学生的积极性,鼓励探索式教学;3)注重知识的发生与发展过程;4)重视提高学生分析问题的能力;5)理论与作图实践紧密结合。
论文给出的教学内容的设计力求体现转化、数形结合、数学模型及公理化的思想方法。分为提出问题、分析问题、选择相关理论和工具、解决问题、深化拓展五个阶段。分析问题阶段是重点,完成了两个问题的转化,一是尺规作图问题的转化,二是三等分角问题的转化;在问题解决阶段,证明了cos20°满足的三次方程在由实数1经尺规作图作出的数域中没有根,从而证明了三等分角的不可能性。深化拓展阶段介绍了有理数域上极小多项式的概念,给出一个判定法则:可以由实数1经尺规作图作出的实数在有理数域上的极小多项式的次数为2的非负整数次幂。这个判定法则并不给出严格证明。这部分属于选择性内容,供有兴趣的学生选学。