等距曲线,也称为平行曲线或位差曲线,在计算机图形设计中有着重要地位,已成为计算机辅助几何（CAGD）的热点之一。Pythagorean-hodograph（PH）曲线,由于它可以精确地计算出曲线的弧长,以及可以精确的用有理形式表示等距线方面的优点而被广泛应用于曲线建模中。对于一些离散的数据插值,PH曲线不仅能够比经典参数多项式曲线产生更光顺的曲线轨迹,而且还能较精确地计算出曲线的弯曲能量等。与此同时,PH曲线还保持了完全一致于标准的Bézier表示。在本文中,主要研究了构造两条在拼接点处具有G~2连续性和规定总长度的三次PH曲线,以及将PH曲线的概念推广到代数双曲空间,定义了平面上三次PH-H曲线并构造满足G~1Hermite插值的三次PH-H曲线。首先,本文简要概述了CAGD的发展历史,PH曲线的提出和它在CAGD中的广泛应用,详细介绍了PH曲线的定义、性质以及研究现状,给出了Hermite插值问题的算法,简要介绍了Algebraic hyperbolic Bézier（AH-Bézier）曲线。然后,本文利用PH曲线的弧长可以用精确的多项式表示的特点,研究三次PH曲线的拼接问题,讨论了两条三次PH曲线在规定总弧长时的G~2连续拼接。给定两个不同的端点,一个拼接点和总长度,来构造两条在拼接点处具有G~2连续性的三次PH曲线,这也可以看做曲线延伸问题。根据三次PH曲线的弧长公式和G~2Hermite插值条件,建立数学模型,进行模型求解,通过算法比较后将问题转化为约束最小化问题,能够快速直接的解决问题,并通过数值实例证明我们所选择算法的效率。最后,根据AH Bézier曲线的良好几何性质,对代数空间进行扩展,将PH曲线的概念从一元多项式空间推广到代数双曲空间,提出了构造三次PH-H曲线的方法,并给出了平面三次PH-H曲线的相关性质。具体为分别利用双曲基函数和AH Bézier基函数,研究三次AH-Bézier曲线是PH曲线,即三次PH-H曲线的两个充要条件。此外,还得出了三次PH-H曲线G~1Hermite插值的解,它存在解的情况分别有三种,并对这三种情况举出了不同例子来进行说明。