最近，一些学者提出了研究某些初等函数的n阶导数的显式表示的问题。并通过研究该问题，得到相应组合数的显式表示，从而简化某些计算。本文将针对反正弦函数的n阶导数进行研究。得到其显式表示。并且，本文还通过函数的导数，来研究函数的绝对单调性和完全单调性的问题。并将这些性质运用于黎曼流形上拉普拉斯算子的第一特征值下界的估计，此外，本文中引入新概念，进而进一步研究Hermite-Hadamard型积分不等式。　　在这篇论文中，作者首先归纳建立反正弦函数导数的显式公式，然后由这些显式公式推导出与平方函数有关的第二类Bell多项式族的显式表示。并且最终运用这些显式表示去发现一些初等函数的导数的显式公式。　　此外，作者发现了包括三角函数在内的某些函数的绝对单调性和完全单调性，及这些函数与估计黎曼流形上拉普拉斯算子的第一特征值的下界的关系。　　在最后，作者引入了一个新概念，即“α预不变凸函数”，对新引入的函数建立一个积分不等式，并且找到函数的一些Hermite-Hadamard型积分不等式，其中这个函数的一阶导数的绝对值的幂是α预不变凸的。