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全文分为如下三章: 第一章,绪论. 在第二章中,讨论了四阶椭圆方程Navier边值问题:{△2u+ a△u=f(x,u),x∈Ω,(2.1)u=△u=0, x∈(a)Ω,其中Ω(∈) RN是光滑的开的有界区域,△2是双调和算子,a<λ1是常数,λ1是(-△,H10(Ω))的第一特征值,f∈((Ω)×R,R). 得到如下结论: 定理2.1若f满足: (f1) f(x,t)≡0,x∈(Ω),t≤0,f(x,t)≥0,x∈(Ω),t>0; (f2)对几乎处处的x∈Ω,f(x,t)/t关于t≥0是递增的; (f3) limt→0+ f(x,t)/t=p(x),limt→+∞f(x,t)/t=+∞,对几乎处处的x∈Ω一致成立,其中p(x)≥0,x∈Ω,p∈L∞(Ω)且‖p‖∞<Λ1:=λ1(λ1-a); (f4) limt→+∞f(x,t)/ts-1=0,对几乎处处的x∈Ω一致成立,其中当N=1,2时,s>2,当N≥3时,2<s<(2N-2)/(N-2).则问题(2.1)至少有一个正解. 定理2.2若f(x,t)=μ丨t丨q-2t+λ丨t丨p-2t,其中1<q<2<p<2*,则对任意的μ>0,λ∈R,问题(2.1)有一列负的临界值且收敛到0. 定理2.3若f满足: (f5)存在常数C0>0,使得丨f(x,t)丨≤C0(丨t|p-1+1),(x,t)∈Ω×R,其中2<p<2*,2*={2N/(N-2),N≥3,∞, N=1,2; (f6)对任意的(x,t)∈Ω×R{0),tf(x,t)>0,且limt→0f(x,t)/t=+∞,对几乎处处的x∈Ω一致成立; (f7)f关于t是奇函数,即f(x,-t)=-f(x,t),对任意的(x,t)∈(Ω)×R.则问题(2.1)有一列非平凡的弱解. 在第三章中,讨论了下面的非线性椭圆方程{△2u+u=f(u),x∈RN(3.1)u∈H2(RN),假设f满足: (f8)f∈C(R,R); (f9) limt→0 f(t)/t=0; (f10)存在常数l>0,使得lim丨t|→+∞f(t)/t=l; (f11)函数f(t)/t关于|t|在R{0}上是严格递增的.得到如下结论: 定理3.1假设(f8)-(f11)成立.若问题(3.1)有一个山路解u0≠0,c1=I(u0),则c0=cI=cI.