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不等式在数学各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具，它不仅在数学中处于独特的地位，也为人们提供了理解数学的一种强有力工具，是现代数学的重要组成部分.此外，在Hilbert空间的算子理论中，对算子的值域的闭性和Moore-Penrose逆的结构的研究是非常重要的.尽管Hilbert C*-模是Hilbert空间的推广，但由于嵌入在Hilbert C*-模中的C*-代数的复杂性，导致Hilbert C*-模中的上述问题比Hilbert空间更加复杂，因此在Hilbert C*-模中研究上述课题是十分有意义的. 本文的研究内容可分为两部分.第一部分是关于Hilbert C*-模中华不等式的研究，包括范数华型不等式、算子华型不等式等内容;第二部分是关于Hilbert C*-模中算子乘积的Moore-Penrose逆及其逆序律的研究，包括算子积Moore-Penrose逆的等价表示、Moore-Penrose逆序律以及由Moore-Penrose逆导出的特殊算子可逆性等内容.本文结构安排如下. 第一章，介绍了本文研究的内容和意义，Hilbert C*-模及其有界可伴算子的基本概念与性质. 第二章，首先介绍了华不等式的研究背景，然后给出了一些预备知识，最后在Hilbert C*-模中推广了华不等式，主要包括范数华型不等式和算子华型不等式的推广. 第三章，首先介绍了算子积Moore-Penrose逆序律的研究背景及一些预备知识，然后利用Hilbert C*-模中算子的分块矩阵表示，研究了两个算子乘积的Moore-Penrose逆，主要包括如下问题: (i)(TS）(+)的等价表示; (ii)S(+)T(+)∈(TS){1，2，3}和S(+)T(+)∈(TS）{1，2，4}的等价条件; (iii)算子乘积的Moore-Penrose逆序律成立的充分必要条件.在本章最后，通过Moore-Penrose逆研究了两个特殊算子的可逆性，作为应用，给出了逆序律成立的一个充分条件.