【摘 要】
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本文主要研究时间分数阶波动方程的适定性,该方程可以用来模拟反常扩散现象,地震学相关的信号问题,各种材料和过程的记忆与遗传特性等等.本文主要分成以下五个章节:第1章介绍文中用到的预备知识.基于时间分数阶波动方程在特定区域下能转化为抽象的分数阶发展方程的研究思路,第2章的第1节,利用余弦族算子理论,给出两类分数阶发展方程解的积分表示形式,并考虑了相关解算子的性质.由于时
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本文主要研究时间分数阶波动方程的适定性,该方程可以用来模拟反常扩散现象,地震学相关的信号问题,各种材料和过程的记忆与遗传特性等等.本文主要分成以下五个章节:第1章介绍文中用到的预备知识.基于时间分数阶波动方程在特定区域下能转化为抽象的分数阶发展方程的研究思路,第2章的第1节,利用余弦族算子理论,给出两类分数阶发展方程解的积分表示形式,并考虑了相关解算子的性质.由于时间分数阶波动方程可以模拟具有随机效应的机械波在粘弹性介质中的传播,第2节研究一类时间分数阶随机波动方程,首先结合第1节的相关结论将该类方程转化为抽象的分数阶发展方程,进而利用随机分析工具以及不动点理论,得到该方程解的存在性与近似可控性.基于带控制项的时间分数阶波动方程可视为分数阶发展包含问题的角度,第3节考虑一类非局部分数阶发展包含问题,利用非紧测度理论得到该问题适度解的存在性以及解集的紧性,最后阐述带控制项的时间分数阶波动方程解的存在性.考虑到时间分数阶波动方程带额外阻尼项时可用于描述矢量电场与材料电磁特性的相互作用的性质,第3章主要研究时间分数阶阻尼波动方程的适定性.利用特征值展开方法给出问题形式解的表示以及适度解的定义,再者建立线性问题的适定性以及正则性结论;以及利用紧性方法以及不动点技巧得到半线性问题解的存在性,延拓性质以及爆破选取.第4章研究在全空间下时间分数阶波动方程的适定性.基于调和分析的方法以及Mittag-Leffler函数的性质,首先定义一类新的适度解,再者建立解算子的相关性质以及线性问题的全局适定性;此外,利用时间分数阶波动方程解算子的性质,最后得到非线性问题在不同空间下的局部适定性以及相关爆破选取.第5章研究一类非线性时间分数阶波动方程的倒向问题解的存在性与正则化,通过利用特征值展开以及算子理论方法,在建立适度解定义的前提下进一步讨论解算子的性质以及解的存在唯一性.由于该问题的不适定性,利用广义滤波正则化方法,最后还考虑正则解的收敛率分析.
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