有限体积元方法作为偏微分方程的离散方法,首先将计算区域进行网格剖分和对偶网格剖分,其中对偶网格单元称为控制体积;其次,在控制体积上对微分方程进行积分,导出微分方程的积分守恒形式;最后,选取试探函数空间为线性或高次有限元子空间离散积分守恒形式导出计算格式.有限体积元方法兼有有限差分方法的简单性,又有有限元方法适应区域灵活,计算精度高的优点,该方法是有限差分方法与有限元方法之间的桥梁.有限体积元方法由于具有非常好的质量或能量守恒性质,在科学工程计算领域的应用非常普遍.本质上,有限体积元方法是基于插值的数值方法.对于r次Lagrange插值而言,其导函数通常具有r阶收敛精度,但这并不排除在插值区间的个别点上导数有更高阶的收敛精度,这些点称为插值的一阶导数超收敛点,在力学中称为应力佳点.若将控制体积节点取为插值的应力佳点,则可以得到超收敛的有限元方法,这方面已有一些研究成果,本文研究半线性抛物型方程的超收敛有限体积元方法.全文共分三章,第一章为引言,综述有限体积元方法的研究进展,第二章研究半线性抛物型方程混合初边值问题的二次超收敛有限体积元方法,使用Crank-Nicolson思想离散半线性方程,对于非线性右端源项,利用前两层的计算结果做线性外插,从而得到了一类线性化的二次有限体积元格式,给出了格式的L2范数误差估计,并用数值算例验证了理论分析结果,数值算例表明格式计算效果良好.第三章研究半线性抛物型方程的三次超收敛有限体积元方法,与二次元格式不同的是本章对非线性源项采用了另外的线性化处理方法,所得格式为两层格式,无需对第一个时间层进行特殊处理.本章使用能量分析方法证明了格式的收敛性,并用数值例子验证了格式的有效性.