Sturm-Liouville(以下简称S-L)理论自产生以来,一直是工程技术、数学物理、生命科学等领域的重要数学工具.除经典的S-L问题外,一些物理学和工程技术领域、反应扩散过程和非局部量子力学等现象还产生了边值条件含谱参数的S-L问题和非局部的S-L问题.受众多领域应用的驱动,S-L理论中的极值问题(尤其是特征值的极值问题)和逆谱问题引起了国内外学者的极大兴趣和高度重视.在经典逆谱问题的研究中,一般需要知道两组全谱信息才能唯一确定势函数,但在实际中往往仅能测得有限个特征值.本文重点研究给定单个特征值时,S-L问题的势(权)函数积分模下确界的定量表达式和可达函数的解析式,从而实现势(权)函数的最优恢复,并得到势(权)函数在L1球上时特征值的极大、极小值.本文的工作分为以下两部分:(一)证明具有分布系数的线性Hamilton系统的第m个特征值关于系数函数在弱*拓扑下的强连续性.特征值关于方程(系统)系数的连续性是极值问题的研究基础.为了突出Dirac函数在极值问题中的作用,首先引入L1可积函数和Dirac函数的有限线性组合张成的线性空间D[0,1]和弱*拓扑空间(D[0,1],w*);然后将度量空间上的Dieudonne定理推广到(D[0,1],w*)上;最后借助于推广的Dieudonne定理、特征值判别函数的性质和特征值的一致下界,证明特征值的强连续性.由于线性Hamilton系统是S-L方程的一般形式,包含了偶数阶的高阶纯量方程,且在本文中其系数可以是Dirac函数,所以这一部分的结果涵盖了现有的纯量方程[36,56,97,100]和二阶线性系统[75]的特征值在弱拓扑空间(Lp,wp),p≥1上强连续性的结果,也涵盖了二阶测度微分方程[76,102]的特征值关于非奇异连续测度势(权)函数在弱*拓扑下强连续性的结果.(二)研究给定单个特征值时,一般分离型边值条件S-L问题、边值条件含谱参数S-L问题和含有非局部势的非局部S-L问题的势(权)函数L1-范数下确界的定量表达式和可达函数的解析式.具体包括:1.对一般分离型边界条件的S-L问题,利用Mercer定理得到更一般的Lyapunov型不等式;以推广的Lyapunov型不等式为主要工具,研究给定第n个特征值时.势函数L1-范数的下确界和可达函数,并由此得到势函数在L1[0.1]球上时,第n个特征值的极大、极小值.2.将一类弦振动系统产生的边值条件含谱参数的S-L问题,转化为边值条件不含谱参数、权函数为分布的S-L问题;建立具有分布权S-L问题的Min-Max原理和Lyapunov型不等式;在此基础上,结合具有Dirac分布权S-L问题的谱理论,详细讨论最小振动频率已知时,原系统的总质量和弦质量的最小化问题.3.对含有非局部势的非局部S-L问题,研究两方面的问题:一是特征值的性质,包括特征值问题的算子描述.特征值的判别函数、下界估计和分布位置;二是在(局部)势函数为零、权函数恒等于1的情况下,讨论第一特征值给定时,非局部势函数L1-范数的下确界和可达函数.并利用非局部势的极值表达式给出非局部势属于L1球时,第一特征值的下确界和非局部S-L问题的Lyapunov型不等式.本文共分五章:第一章是绪论,介绍了本文工作的研究意义、研究现状、主要内容和研究方法;第二章是本文的第一部分,证明了线性Hamilton系统的特征值在空间D[0.1]的弱*拓扑下关于系统系数的强连续性;第三章至第五章是本文的第二部分,分别讨论了一般分离型边值条件S-L问题势函数的极值、边值含谱参数S-L问题权函数的极值和含非局部势的非局部S-L问题的特征值问题及相应的极值问题.