线性保持问题是矩阵论研究领域中一个十分活跃的课题,刻画矩阵集之间保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的线性算子的问题被称为线性保持问题.本文主要通过将域上行列式保持中的基础域减弱为非负交换整半环来研究行列式保持问题,通过将线性保持极小秩中的线性条件改为保持某一非奇异双线性函数来研究极小秩保持问题。首先,在几类特殊的非负交换整半环上讨论了保持双行列式的线性变换,给出了这种变换的详细刻画.然后,在一般的非负交换整半环上证明了n≥4时,M_n(R)上保持正(负)行列式的线性满射是(P,Q,B)算子;又证明了n≥2时,M_n(R)上保持积和式的线性满射也是(P,Q,B)算子;并给出了当非负交换整半环R=Z+∪{0}时,M_n®上保持积和式的加法满射的详细刻画.这些结论推广了Beasley等人关于双行列式保持的研究结果.最后,在特征不为2的域F上,刻画了n≥3时全矩阵空间M_n(F)到其自身的同时保持极小秩和某一非奇异双线性函数的变换;并证明了域上的2×2全矩阵空间上保持极小秩的线性变换的形式.