自二十世纪初发现超导现象以来,人们对于超导的探索脚步就不曾停下。直到二十世纪五十年代,BCS理论的诞生才解释了超导现象的微观来源是电子的配对。随着凝聚态领域以及冷原子实验平台的发展,越来越多的研究者投身于超导材料与超导机制的研究。配对机制的研究也从最初的s波自旋单态配对发展到自旋三态配对,粒子密度涨落、自旋涨落引起配对等。迄今为止已有十位物理学家因为他们在超导领域的贡献而获得诺贝尔物理学奖。二十一世纪以来,伴随着越来越多新超导材料的发现,越来越高的转变温度的实现,既有理论对超导现象的解释也愈显不足,并且随着人们对于拓扑认识的深入,超导体系的拓扑性质也受到广泛关注,尤其是人们在意识到拓扑超导体在实际应用上的巨大潜力之后。在实现拓扑超导的方案中,通过近邻效应诱导拓扑是人们最感兴趣的一类方案。关于通过常规超导体和拓扑绝缘体之间的近邻效应诱导拓扑超导这一问题已经有了大量研究结果,而常规超导体与一些自旋构型之间的自旋交换效应也是可以诱导出非平庸拓扑性质的,这也是实现拓扑超导体的重要方案,且由于自旋构型的丰富种类,可能会诱导出不同的拓扑超导,这一效应是具有一定研究价值的。基于此,我们研究了一维常规s波超导体和斯格明子晶格的自旋交换效应（或称近邻效应）。研究了系统的拓扑性质,相应的拓扑不变量,边界上的马约拉纳零能模以及相应的体边对应关系,得到了系统的拓扑相图。由此自旋交换引起的自旋轨道耦合会在常规超导体中诱导拓扑状态,此拓扑状态由缠绕数作为拓扑不变量描述,拓扑相变经由能隙重打开过程,系统的拓扑相图和斯格明子晶格半径有着很强的关系,半径越大,系统的拓扑相图会更加复杂。此工作在人们理解一维拓扑超导系统中自旋轨道耦合效应方面有重要意义。经典超导体具有迈斯纳效应,对于磁场是完全排斥的,而Ⅱ类超导体会出现磁通钉扎的现象。并且磁场往往也会参与诱导非平庸拓扑性质,所以对于拓扑超导体的研究而言,磁场效应的研究是一个重要部分。我们研究了玻色霍尔丹模型中的超流相。此模型具有非平庸的拓扑能带结构,玻色系统在弱相互作用条件下会形成稳定的BEC,对此模型赝势效应的研究对超导中磁场的研究具有一定借鉴意义。系统在次近邻跃迁驱动下会发生均匀超流相与手性超流相的相变,在赝势作用下,粒子会倾向于凝聚在某子格上,系统会发生手性超流相与子格超流相之间的相变。我们还利用量子无序中的有序方法解决了相位偶然简并问题,并由此研究了各个相的低能激发行为。该工作不但是对霍尔丹模型的玻色形式推广的研究,也是对超流中赝势效应的研究,尤其是对冷原子体系中超流的实现与研究有重要意义。拓扑超导体是马约拉纳零模的重要载体,尤其是在二维情形下,马约拉纳零模具有操控的可能性,具有更广泛的潜在应用价值。基于此可以意识到在二维拓扑超导系统与环境之间有粒子交换时,系统中马约拉纳零模的稳定性是一个关键问题。并且由于此粒子交换效应的存在,对系统的拓扑性质刻画也可能需要修正。基于非布洛赫波方法,我们研究了二维非厄米手征超导系统的拓扑性质。证明了此特定系统的广义布里渊区和传统布里渊区的等价性,利用一个二维强拓扑不变量和两个一维的弱拓扑不变量描述系统的拓扑性质,并找到了三个拓扑不变量的物理对应,强拓扑不变量对应于边界马约拉纳零能模,弱拓扑不变量对应于系统中的刃状错位中心的马约拉纳零能模,建立了相应的体边对应关系。我们利用奇异点流分割广义布里渊区,利用奇异点流性质定义了每个分片的手性,并建立了相变的拓扑数改变量与高对称点所在分片手性的定量关系。在广泛的参数区间下检查了此定量关系的正确性。此工作是对二维非厄米问题的研究,为非厄米拓扑相变的探测提供了新的思路,在拓扑边界模稳定性方面有着重要意义。