【摘 要】
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在过去的二十年里,由于分数阶微分方程广泛应用于科学和工程的领域,如湍流、地下水污染物运输、材料、生物系统、信号和图像处理,其研究引起了广泛的关注.本文应用有限差分方法研究空间分数阶偏微分方程的数值解,同时对于离散后的线性系统,提出相应的快速算法.本文的主要内容集中在第二章至第七章.第二章,我们分别对阶数为α ∈（0,1）和α ∈（1,2）两种情况的Riemann-Liouville分数阶导数构造3
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在过去的二十年里,由于分数阶微分方程广泛应用于科学和工程的领域,如湍流、地下水污染物运输、材料、生物系统、信号和图像处理,其研究引起了广泛的关注.本文应用有限差分方法研究空间分数阶偏微分方程的数值解,同时对于离散后的线性系统,提出相应的快速算法.本文的主要内容集中在第二章至第七章.第二章,我们分别对阶数为α ∈（0,1）和α ∈（1,2）两种情况的Riemann-Liouville分数阶导数构造3点及4点WSGD算子,并给出误差分析.同时,通过使用外推技巧,我们更进一步给出了基于3点WSGD算子的具有四阶精度的外推WSGD算子.第三章,我们考虑一维及二维常系数空间分数阶扩散方程的有限差分方法.我们首先使用QCD算子逼近Riemann-Liouville分数阶导数,从而得到了 一个常微分方程组.随后我们使用隐式Runge-Kutta方法离散得到的常微分方程组.最终得到时空四阶精度的IRK-QCD格式,并且给出稳定性和收敛性的证明第四章,我们考虑一维及二维变系数空间分数阶扩散方程的有限差分方法.我们首先使用第二章中给出的4点WSGD算子对Riemann-Liouville分数阶导数进行离散,再通过Crank-Nicolson技巧离散时间导数,从而导出CN-4WSGD格式.通过选择不同的参数,CN-4WSGD格式能够达到空间三阶或者四阶精度.最后,我们给出稳定性和收敛性的证明.第五章,我们考虑一维变系数空间分数阶对流-扩散方程的有限差分方法.我们首先使用不同参数的3点WSGD算子分别离散分数阶对流项及分数阶扩散项,从而得到CN-WSGD格式.根据系数与时间及空间变量的依赖性,分四种情况讨论了所得CN-WSGD格式的稳定性和收敛性.同时,我们对不同的参数进行了讨论,给出了一族无条件稳定的CN-WSGD格式.数值结果验证了我们理论的正确性.第六章及第七章,我们针对第二章至第四章所讨论的离散线性系统进行研究,并给出了相应线性系统的快速算法.基于IRK-QCD格式,我们构造了BLT预处理矩阵,并且严格证明了预处理矩阵的特征值都聚集在圆盘{λ:λ ∈ C,|λ-1|≤1/3}之内.同时也证明预处理矩阵的条件数是一致有界的.基于CN-4WSGD格式,我们通过对系数矩阵进行分裂,给出了求解CN-4WSGD格式的DTTS迭代法,并且证明了该迭代法是收敛的.随后,我们讨论了关于变系数Riesz型空间分数阶扩散方程的快速算法.我们先将离散的非对称线性系统转换成对称线性系统,从而给出有对角补偿的带状预处理,并且证明预处理矩阵特征值围绕1聚集.最后,我们通过数值结果验证了 IRK-QCD格式及CN-4WSGD格式的精度及所使用的快速算法的有效性.
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