随着科学技术的发展，对非线性问题的研究已经贯穿于信息科学、生命科学、空间科学、地理科学和环境科学等许多领域。非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且对社会的进步与发展有着积极的推动作用。非线性问题是十分复杂的，要研究非线性现象，首先要根据实际问题建立适当的数学模型。而物理科学、工程技术和许多应用科学中的数学模型以微分方程居多，因此研究各类微分方程的性质及解法就成为了当前科学研究，尤其是非线性科学研究的热点问题之一。经过几十年的发展，已找到许多求非线性偏微分方程精确解，尤其是孤子解的方法，本文借助于计算机符号计算系统Mathematica，研究和讨论了首次积分法、相似变换法和非线性偏微分方程的Painleve性质。完成了以下三方面工作：一、利用首次积分法求解了Fitzhugh-Nagumo方程，得到了一系列新的精确解，并且讨论了参数取特殊值时的特解。还求解了Fisher方程，得到了四组精确解。二、分别用三种相似变换法分析了一类非线性色散—耗散方程，得出了方程的几种不同形式的相似约化及一个新的相似解。三、用WTC方法讨论了一类非线性色散—耗散方程的Painleve性质，结果表明该方程不具有Painleve性质，因此不是Painleve可积的。论文共分为四章。第一章介绍了论文的一些背景知识和非线性偏微分方程的几种常见解法，包括散射反演方法、双线性方法、Tanh函数法、基于符号计算的一种统一的代数方法和齐次平衡方法等等。第二章首先介绍了首次积分法的基本原理和主要步骤，然后利用这种方法求解了两个非线性偏微分方程。对于一种重要的非线性反应扩散方程Fitzhugh-Nagumo方程，得到了一系列新的精确解，可以看出首次积分法是寻找非线性发展方程精确解的最有效的方法之一，尤其适用于不完全可积的模型。以这部分内容为基础撰写的科研论文“New exact solutions to the Fitzhugh-Nagumo equation”已经被SCI收录期刊《Applied Mathematics and Computation》正式接受。将这种方法应用于Fisher方程，得到了四组精确解，其中一组解与刘式适等利用“试探函数法”得到的结果完全相同。同时，利用这种方法，我们还得到了更多结果。第三章介绍了三种最常用的相似变换方法，分别是经典无穷小变换法，非经典无穷小变换法和CK直接法。以一类非线性色散—耗散方程为例，分别利用这三种方法对其进行约化，得到了几种不同形式的相似约化及一个新的相似解。可以看出这三种方法既有相似之处，又各具特色。第四章主要介绍了判断常微分方程Painleve性质的ARS方法和判断偏微分方程Painleve性质的WTC方法。另外还以KdV方程为例，介绍了如何利用Painleve分析得到偏微分方程的Backlund变换。利用WTC方法对一类非线性色散—耗散方程进行分析，结果表明该方程不具有Painleve性质，因而不是Painleve可积的。