图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。　　 二十世纪六十年代以来，图论在科学界突军异起，活跃非凡。图论中有很多著名的问题，如哈密顿问题，四色问题，中国邮递员问题等。并且，应用图论来解决化学，计算机科学，生物学等学科问题已显出极大的优越性。图论作为离散数学的一个重要分支，受到了各方面的普遍重视。　　 均匀染色问题作为图论里的一个重要问题，对于它的研究有着深远的意义。令G表示一个简单图。图的均匀染色，就是指正常染色中任意两个色类中的元素个数最多相差一个。这里主要考虑简单的非空有限图，这些图不包含环以及重边。　　 本文研究了图论中有关均匀染色的若干问题，具体地，我们从树的均匀染色入手，通过在树上加边的方式形成各种带圈的图，从而将简单图做了系统的归类，然后研究这几类加圈图的相关性质及其均匀染色数k的范围。上述问题可以概括如下：任意一个简单图G，其均匀染色数为k，为了方便确定k的范围，我们将G进行分类，按各类别的性质去确定其具体k的范围，达到更科学、更精确的目的。　　 全文共分为五章。　　 第一章，我们给出了一个简短而又相对完整的引言。首先，我们介绍了均匀染色的理论知识。然后，我们给出了一些基本的术语和定义。最后，我们列出本文的主要结果。　　 在第二章里，针对连通的简单图，我们先从简单一些的图类入手，这里是以树入手，巧妙借助已经存在的若干定理，来研究这类图的均匀染色数k。　　 在第三章里，我们对剩下的连通含圈简单图进行研究，将其分类细化，设计相关算法，寻求其均匀染色数七的范围。具体分成以下三大类：　　 第一类，图G里不存在奇圈。在这一类情况里，我们将图G看成二分图G(X，Y)，然后按照二分图的性质来研究其均匀染色色数的范围。　　 第二类，图G中不存在偶圈。对于此类情况，我们不难得出其任意两个圈都不相交的结论。这样便大大简化了我们确定均匀染色色数的难度。而另外关键的一步是将此大类按照这样一个规则划成两小类，即，图G中是否存在满足||X|-|Y||≥2条件的子树Ti(X，Y)。如果不存在该条件的子树，则图G是3-均匀可染色的。反之，如果图G中存在满足条件的子树Ti(X，Y)时，我们便采用二分搜索方法来锁定均匀染色色数的范围。这里七是介于3和ki之间的数。在本部分，我们构造了相关例子来演示该方法。　　 第三类，图G中既存在奇圈，又存在偶圈。这里又可以分两种情况来讨论。分类标准是，图G里的圈是否相交。如果严格不存在相交的情况，便可以运用前面提到的第二类方法来解决此类问题；然而，如果存在相交的情况——这种情况相对来说比较复杂，我们便对其进行树分解，找到图G的树宽w，即w-退化的，借助树宽，可以确定该图G的均匀染色色数k的范围。　　 在第四章里，主要研究那些非连通简单含圈图的均匀染色数k。本文先从森林入手，将此类图划分为两类，即森林F和其他类别的图G，然后研究这两类图的均匀染色数k的范围。　　 最后，在第五章里，我们做了一些总结和相应的一些推广。