微分方程的振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，起源于1836年Sturm提出二阶线性常微分方程x"(t)+q(t)x(t)=0，从此对于线性的与非线性方程的振动性理论有了很大的发展，数学家Fite、Hartman、Wintner、Philos等人利用经典的Ricatti技巧与函数平均、积分平均方法得到了大量的、重要的研究成果．并且经几十年来传统的常微分方程的振动理论推广到泛函微分方程，差分方程、偏微分方程以及生态数学等有关领域．本文共分三章，第一章介绍微分方程振动理论的历史沿革，第二章介绍微分方程振动理论的研究方法，第三章第一节介绍半线性微分方程振动理论的进展，第二节与第三节介绍半线性方程的两种推广，二阶非线性常微分方程(α(t)ψ(x(t))|x(t)α-1x(t))’+ψ(t，x(t))=0，α>0.(E1)与带散度的偏微分方程div(||▽u||p-2▽u)+q(x)f(u(x))=0(p>1)．(E2)本文利用经典的Riccati技巧与函数平均方法得到了一些新的振动性定理．对于第一类方程(E1)，假设函数定义区间为[t0，+∞]，且α(t)>0，ψ(x)>0，且连续，ψ(t，s)为二元可微函数，ψ(t，s)对第一变元和第二变元的偏导数记为ψ1和ψ2。